辛钦《数学分析八讲（修订版）》笔记

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+title: 辛钦《数学分析八讲（修订版）》笔记
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+| 书名 | 《数学分析八讲（修订版）》 |
+| 原作名 | Восемь лекций по математическому анализу |
+| 作者 | 辛钦（A. Я. Хинчин，1894–1959） |
+| 译者 | 王会林、齐民友 |
+| 出版社 | 人民邮电出版社 |
+| 出版年 | 2015 |
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+## 中⽂版再版序
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+> 我在本书第一次出版的译后记里曾提出，原书对于紧性的处理似尚有改进余地。现在又过了十多年，这个感觉更加突出。所以借这次再版的机会，增加了好几个脚注，目的是提请读者注意这个问题。
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+应当注意作者对紧性的处理。
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+> 我深切希望读者注意小平邦彦的《微积分入门 I，II》和陶哲轩的《陶哲轩实分析》两本书。它们虽没有讲到数学分析的新应用，但是对于真正以数学发展为基础的许多新学科、高科技方面的从业者（更具体说是工科数学教师和大学生），加强基础的教学会大有好处，更不说数学专业的师生了。但是，它们都比较深，本书则可视为踏脚石。
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+这两本书是我接下来要读的书。
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+## 原版第一版前⾔
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+> 从一开始就拒绝了充分详细地讲授本课程哪怕只是某一章的想法，而只限于讲授那些具有原则性、扼要、突出、具体且使人有难忘印象的发展。我讲的更多的是关于目的和趋势、问题和方法、基本的分析概念之间的以及它们与应用之间的关系，而不是个别的定理及其证明。
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+概而言之，是讲整体，而不是讲细节。
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+## 译后记
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+> 我们通常都说定积分是和的极限，这本书就告诉了我们为什么要说是上和的下确界、下和的上确界，而不说是极限。其实这是很深刻的问题。如果一定要讲到穆尔-史密斯-沙图诺夫斯基的极限理论，那就要求更高了。……他们的理论现在常称为网的理论，在点集拓扑学书上常有介绍。而在数学分析教材里，可以参看菲赫金哥尔茨《微积分学教程（第三卷）》（高等教育出版社，2006）的“附录：极限的一般观点”。1937 年，法国数学家嘉当（Henri Cartan，布尔巴基学派的领袖人物之一）又把它发展为“滤子”理论，这是值得注意的。
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+非常深奥，我完全读不懂，需要进一步深入了解。
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+> 读了这本书，读者会感到辛钦确实是一位了不起的教师。他写的《数学分析简明教程》在 20 世纪 50 年代末、60 年代初在我国风行一时。依我拙见，比他写得更好的教材至今还是凤毛麟角。
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+值得一看。
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+## 第一讲 连续统
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+### 1.1 为什么数学分析必须从研究连续统开始？
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+> “如果对于变量 \\(x\\) 的每一个值，变量 \\(y\\) 都有唯一确定的值与之对应，那么变量 \\(y\\) 称为变量 \\(x\\) 的函数。”这句话可以用来开启高等数学领域的大门：借助于这句话我们可以定义最重要的、最首要的数学分析概念——**函数关系**。在此概念中，已经奠定了借助数学工具来把握自然现象和技术过程的完整思想的萌芽。
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+函数是数学分析的核心。数学分析作为科学的工具，可用来研究变量之间的因果关系和相关性；它们就抽象为函数。由于科学或者工程主要涉及的变量是连续变化的，故连续统自然应当成为数学分析的基础。
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+### 1.2 为什么没有建立完整的实数理论是不能研究连续统的？