浮点数加减问题

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以前的旧文章，转移到这里

今天花了一整天的时间复习二进制相关知识，在这里写下这篇blog作为总结！

为什么“0.1+0.2=0.30000000000000004”？

首先声明这不是bug，原因在与十进制到二进制的转换导致的精度问题！其次这几乎出现在很多的编程语言中：C/C++,Java,Javascript中，准确的说：“使用了IEEE 754浮点数格式”来存储浮点类型(float 32,double 64)的任何编程语言都有这个问题！

简要介绍下IEEE 754浮点格式：它用科学记数法以底数为2的小数来表示浮点数。IEEE浮点数（共32位）用1位表示数字符号，用8为表示指数，用23为来表示尾数（即小数部分）。此处指数用移码存储，尾数则是原码（没有符号位）。之所以用移码是因为移码的负数的符号位为0，这可以保证浮点数0的所有位都是0。双精度浮点数(64位)，使用1位符号位、11位指数位、52位尾数位来表示。

因为科学记数法有很多种方式来表示给定的数字，所以要规范化浮点数，以便用底数为2并且小数点左边为1的小数来表示（注意是二进制的，所以只要不为0则一定有一位为1），按照需要调节指数就可以得到所需的数字。例如：十进制的1.25 => 二进制的1.01 => 则存储时指数为0、尾数为1.01、符号位为0.（十进制转二进制）

回到开头，为什么“0.1+0.2=0.30000000000000004”？首先声明这是javascript语言计算的结果（注意Javascript的数字类型是以64位的IEEE 754格式存储的）。正如同十进制无法精确表示1/3(0.33333...)一样，二进制也有无法精确表示的值。例如1/10。64位浮点数情况下：

十进制0.1
=> 二进制0.00011001100110011...(循环0011)
=>尾数为1.1001100110011001100...1100（共52位，除了小数点左边的1），指数为-4（二进制移码为00000000010）,符号位为0
=> 存储为：0 00000000100 10011001100110011...11001
=> 因为尾数最多52位，所以实际存储的值为0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001

十进制0.2
=> 二进制0.0011001100110011...(循环0011)
=>尾数为1.1001100110011001100...1100（共52位，除了小数点左边的1），指数为-3（二进制移码为00000000011）,符号位为0
=> 存储为：0 00000000011 10011001100110011...11001
因为尾数最多52位，所以实际存储的值为0.00110011001100110011001100110011001100110011001100110011

两者相加：
0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011001 +  0.00110011001100110011001100110011001100110011001100110011 = 0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001100
转换成10进制之后得到：0.30000000000000004！

浮点数中的特殊数字

除了一般范围内的数字之外，还有一些特殊数字：无穷大、负无穷大、-0和NaN（“代表不是数字”）。造成了如下一些特殊情况：

public class FloatTest {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(0.1f+0.2f); //0.3
        System.out.println(0.1d+0.2d); //0.30000000000000004
        System.out.println(Math.sqrt(-1.0)); //NaN
        System.out.println(0.0 / 0.0);//NaN
        System.out.println(1.0 / 0.0);//Infinity
        System.out.println(-1.0 / 0.0);//-Infinity
        System.out.println(0.0 / 0.0 + 1.0);//NaN + 1.0 = NaN
        System.out.println(1.0 / 0.0 + 1.0);//无穷大 + 1.0 = Infinity
        System.out.println(1.0 / 0.0 + 1.0 / 0.0);//无穷大 + 无穷大 = Infinity
        System.out.println(0.0 / 0.0 > 1.0);//NaN > 1.0 = false
        System.out.println(0.0 / 0.0 == 1.0);//NaN == 1.0 = false
        System.out.println(0.0 / 0.0 < 1.0);//NaN < 1.0 = false
        System.out.println(0.0 / 0.0 == 0.0 / 0.0);//NaN == NaN = false
        System.out.println(0.0 == -0.01); //false
    }
}

更精确的计算

既然一般的浮点数计算有这么多问题，那么如何实现更精确的计算呢？Java中提供了BigDecimal类实现基于十进制的浮点数计算。在Javascript 2（目前浏览器不支持）中提供一种use decimal;实现十进制浮点数计算：

{
    use decimal;
    var a = 0.1; // a is a decimal
    var b = 0.2; // b is a decimal
    var c = a + b; // c is a decimal (0.3)
}
var d = 0.1 + 0.2; // d is a double (0.30000000000000004)
var a = 0.1m; // a is a decimal
var b = 0.2m; // b is a decimal
var c = a + b; // c == 0.3m

C#也支持如上的m操作符实现十进制浮点数计算。

2013/07/12 更新：Javascript 目前有MathJs这样的第三方库可以实现精确的计算。