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<title>lesson2-week1</title><link href='https://fonts.googleapis.com/css?family=Open+Sans:400italic,700italic,700,400&subset=latin,latin-ext' rel='stylesheet' type='text/css' /><style type='text/css'>html {overflow-x: initial !important;}:root { --bg-color:#ffffff; --text-color:#333333; --select-text-bg-color:#B5D6FC; --select-text-font-color:auto; --monospace:"Lucida Console",Consolas,"Courier",monospace; }
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<body class='typora-export os-windows' >
<div  id='write'  class = 'is-node'><h1><a name='header-n0' class='md-header-anchor '></a>第二门课 改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化(Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)</h1><h2><a name='header-n3' class='md-header-anchor '></a>第一周：深度学习的实践层面(Practical aspects of Deep Learning)</h2><div class='md-toc' mdtype='toc'><p class="md-toc-content"><span class="md-toc-item md-toc-h1" data-ref="n0"><a class="md-toc-inner" href="#header-n0">第二门课 改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化(Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h2" data-ref="n3"><a class="md-toc-inner" href="#header-n3">第一周：深度学习的实践层面(Practical aspects of Deep Learning)</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n5"><a class="md-toc-inner" href="#header-n5">1.1 训练，验证，测试集（Train / Dev / Test sets）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n44"><a class="md-toc-inner" href="#header-n44">1.2 偏差，方差（Bias /Variance）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n78"><a class="md-toc-inner" href="#header-n78">1.3 机器学习基础（Basic Recipe for Machine Learning）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n89"><a class="md-toc-inner" href="#header-n89">1.4 正则化（Regularization）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n119"><a class="md-toc-inner" href="#header-n119">1.5 为什么正则化有利于预防过拟合呢？（Why regularization reduces overfitting?）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n147"><a class="md-toc-inner" href="#header-n147">1.6 dropout 正则化（Dropout Regularization）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n183"><a class="md-toc-inner" href="#header-n183">1.7 理解 dropout（Understanding Dropout）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n199"><a class="md-toc-inner" href="#header-n199">1.8 其他正则化方法（Other regularization methods）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n227"><a class="md-toc-inner" href="#header-n227">1.9 归一化输入（Normalizing inputs）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n253"><a class="md-toc-inner" href="#header-n253">1.10 梯度消失/梯度爆炸（Vanishing / Exploding gradients）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n266"><a class="md-toc-inner" href="#header-n266">1.11 神经网络的权重初始化（Weight Initialization for Deep NetworksVanishing / Exploding gradients）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n279"><a class="md-toc-inner" href="#header-n279">1.12 梯度的数值逼近（Numerical approximation of gradients）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n291"><a class="md-toc-inner" href="#header-n291">1.13 梯度检验（Gradient checking）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n309"><a class="md-toc-inner" href="#header-n309">1.14 梯度检验应用的注意事项（Gradient Checking Implementation Notes）</a></span></p></div><h3><a name='header-n5' class='md-header-anchor '></a>1.1 训练，验证，测试集（Train / Dev / Test sets）</h3><p><img src='../images/L2_week1_1.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>大家可能已经了解了，那么本周，我们将继续学习如何有效运作神经网络，内容涉及超参数调优，如何构建数据，以及如何确保优化算法快速运行，从而使学习算法在合理时间内完成自我学习。</p><p>第一周，我们首先说说神经网络机器学习中的问题，然后是随机神经网络，还会学习一些确保神经网络正确运行的技巧，带着这些问题，我们开始今天的课程。</p><p>在配置训练、验证和测试数据集的过程中做出正确决策会在很大程度上帮助大家创建高效的神经网络。训练神经网络时，我们需要做出很多决策，例如：</p><ol start='' ><li>神经网络分多少层</li><li>每层含有多少个隐藏单元</li><li>学习速率是多少</li><li>各层采用哪些激活函数</li></ol><p><img src='../images/L2_week1_2.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>创建新应用的过程中，我们不可能从一开始就准确预测出这些信息和其他超级参数。实际上，应用型机器学习是一个高度迭代的过程，通常在项目启动时，我们会先有一个初步想法，比如构建一个含有特定层数，隐藏单元数量或数据集个数等等的神经网络，然后编码，并尝试运行这些代码，通过运行和测试得到该神经网络或这些配置信息的运行结果，你可能会根据输出结果重新完善自己的想法，改变策略，或者为了找到更好的神经网络不断迭代更新自己的方案。</p><p>现如今，深度学习已经在自然语言处理，计算机视觉，语音识别以及结构化数据应用等众多领域取得巨大成功。结构化数据无所不包，从广告到网络搜索。其中网络搜索不仅包括网络搜索引擎，还包括购物网站，从所有根据搜索栏词条传输结果的网站。再到计算机安全，物流，比如判断司机去哪接送货，范围之广，不胜枚举。</p><p>我发现，可能有自然语言处理方面的人才想踏足计算机视觉领域，或者经验丰富的语音识别专家想投身广告行业，又或者，有的人想从电脑安全领域跳到物流行业，在我看来，从一个领域或者应用领域得来的直觉经验，通常无法转移到其他应用领域，最佳决策取决于你所拥有的数据量，计算机配置中输入特征的数量，用<strong>GPU</strong>训练还是<strong>CPU</strong>，<strong>GPU</strong>和<strong>CPU</strong>的具体配置以及其他诸多因素。</p><p><img src='../images/97596da07232f85d566710ee7dd2f8ad.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>目前为止，我觉得，对于很多应用系统，即使是经验丰富的深度学习行家也不太可能一开始就预设出最匹配的超级参数，所以说，应用深度学习是一个典型的迭代过程，需要多次循环往复，才能为应用程序找到一个称心的神经网络，因此循环该过程的效率是决定项目进展速度的一个关键因素，而创建高质量的训练数据集，验证集和测试集也有助于提高循环效率。</p><p><img src='../images/072653e2e9402d2857bfcb7b9f783a5c.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>假设这是训练数据，我用一个长方形表示，我们通常会将这些数据划分成几部分，一部分作为训练集，一部分作为简单交叉验证集，有时也称之为验证集，方便起见，我就叫它验证集（<strong>dev set</strong>），其实都是同一个概念，最后一部分则作为测试集。</p><p>接下来，我们开始对训练执行算法，通过验证集或简单交叉验证集选择最好的模型，经过充分验证，我们选定了最终模型，然后就可以在测试集上进行评估了，为了无偏评估算法的运行状况。</p><p>在机器学习发展的小数据量时代，常见做法是将所有数据三七分，就是人们常说的70%验证集，30%测试集，如果没有明确设置验证集，也可以按照60%训练，20%验证和20%测试集来划分。这是前几年机器学习领域普遍认可的最好的实践方法。</p><p><img src='../images/ebbfb8514ff5a983f41e938d5870b79d.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果只有100条，1000条或者1万条数据，那么上述比例划分是非常合理的。</p><p>但是在大数据时代，我们现在的数据量可能是百万级别，那么验证集和测试集占数据总量的比例会趋向于变得更小。因为验证集的目的就是验证不同的算法，检验哪种算法更有效，因此，验证集要足够大才能评估，比如2个甚至10个不同算法，并迅速判断出哪种算法更有效。我们可能不需要拿出20%的数据作为验证集。</p><p><img src='../images/1224fb0922d5673c380e6dad9ded0b6b.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>比如我们有100万条数据，那么取1万条数据便足以进行评估，找出其中表现最好的1-2种算法。同样地，根据最终选择的分类器，测试集的主要目的是正确评估分类器的性能，所以，如果拥有百万数据，我们只需要1000条数据，便足以评估单个分类器，并且准确评估该分类器的性能。假设我们有100万条数据，其中1万条作为验证集，1万条作为测试集，100万里取1万，比例是1%，即：训练集占98%，验证集和测试集各占1%。对于数据量过百万的应用，训练集可以占到99.5%，验证和测试集各占0.25%，或者验证集占0.4%，测试集占0.1%。</p><p>总结一下，在机器学习中，我们通常将样本分成训练集，验证集和测试集三部分，数据集规模相对较小，适用传统的划分比例，数据集规模较大的，验证集和测试集要小于数据总量的20%或10%。后面我会给出如何划分验证集和测试集的具体指导。</p><p>现代深度学习的另一个趋势是越来越多的人在训练和测试集分布不匹配的情况下进行训练，假设你要构建一个用户可以上传大量图片的应用程序，目的是找出并呈现所有猫咪图片，可能你的用户都是爱猫人士，训练集可能是从网上下载的猫咪图片，而验证集和测试集是用户在这个应用上上传的猫的图片，就是说，训练集可能是从网络上抓下来的图片。而验证集和测试集是用户上传的图片。结果许多网页上的猫咪图片分辨率很高，很专业，后期制作精良，而用户上传的照片可能是用手机随意拍摄的，像素低，比较模糊，这两类数据有所不同，针对这种情况，根据经验，我建议大家要确保验证集和测试集的数据来自同一分布，关于这个问题我也会多讲一些。因为你们要用验证集来评估不同的模型，尽可能地优化性能。如果验证集和测试集来自同一个分布就会很好。</p><p><img src='../images/459ffc8998b35b259bc3bab4fd4fb44c.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>但由于深度学习算法需要大量的训练数据，为了获取更大规模的训练数据集，我们可以采用当前流行的各种创意策略，例如，网页抓取，代价就是训练集数据与验证集和测试集数据有可能不是来自同一分布。但只要遵循这个经验法则，你就会发现机器学习算法会变得更快。我会在后面的课程中更加详细地解释这条经验法则。</p><p>最后一点，就算没有测试集也不要紧，测试集的目的是对最终所选定的神经网络系统做出无偏估计，如果不需要无偏估计，也可以不设置测试集。所以如果只有验证集，没有测试集，我们要做的就是，在训练集上训练，尝试不同的模型框架，在验证集上评估这些模型，然后迭代并选出适用的模型。因为验证集中已经涵盖测试集数据，其不再提供无偏性能评估。当然，如果你不需要无偏估计，那就再好不过了。</p><p><img src='../images/658fc77a1ea588d5768dcd1a9a90761a.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>在机器学习中，如果只有一个训练集和一个验证集，而没有独立的测试集，遇到这种情况，训练集还被人们称为训练集，而验证集则被称为测试集，不过在实际应用中，人们只是把测试集当成简单交叉验证集使用，并没有完全实现该术语的功能，因为他们把验证集数据过度拟合到了测试集中。如果某团队跟你说他们只设置了一个训练集和一个测试集，我会很谨慎，心想他们是不是真的有训练验证集，因为他们把验证集数据过度拟合到了测试集中，让这些团队改变叫法，改称其为“训练验证集”，而不是“训练测试集”，可能不太容易。即便我认为“训练验证集“在专业用词上更准确。实际上，如果你不需要无偏评估算法性能，那么这样是可以的。</p><p><img src='../images/02556a7f525c0ec016483644755c2231.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>所以说，搭建训练验证集和测试集能够加速神经网络的集成，也可以更有效地衡量算法地偏差和方差，从而帮助我们更高效地选择合适方法来优化算法。</p><p>&nbsp;</p><h3><a name='header-n44' class='md-header-anchor '></a>1.2 偏差，方差（Bias /Variance）</h3><p>我注意到，几乎所有机器学习从业人员都期望深刻理解偏差和方差，这两个概念易学难精，即使你自己认为已经理解了偏差和方差的基本概念，却总有一些意想不到的新东西出现。关于深度学习的误差问题，另一个趋势是对偏差和方差的权衡研究甚浅，你可能听说过这两个概念，但深度学习的误差很少权衡二者，我们总是分别考虑偏差和方差，却很少谈及偏差和方差的权衡问题，下面我们来一探究竟。</p><p><img src='../images/e0ec4205933b7c2a9eaed9fbaa8d4afc.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>假设这就是数据集，如果给这个数据集拟合一条直线，可能得到一个逻辑回归拟合，但它并不能很好地拟合该数据，这是高偏差（<strong>high bias</strong>）的情况，我们称为“欠拟合”（<strong>underfitting</strong>）。</p><p>相反的如果我们拟合一个非常复杂的分类器，比如深度神经网络或含有隐藏单元的神经网络，可能就非常适用于这个数据集，但是这看起来也不是一种很好的拟合方式分类器方差较高（<strong>high variance</strong>），数据过度拟合（<strong>overfitting</strong>）。</p><p>在两者之间，可能还有一些像图中这样的，复杂程度适中，数据拟合适度的分类器，这个数据拟合看起来更加合理，我们称之为“适度拟合”（<strong>just right</strong>）是介于过度拟合和欠拟合中间的一类。</p><p><img src='../images/05ac08b96177b5d0aaae7b7bfea64f3a.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>在这样一个只有<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-936-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E936-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E936-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 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106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E937-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 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error</strong>），为了方便论证，假设我们可以辨别图片中的小猫，我们用肉眼识别几乎是不会出错的。</p><p>假定训练集误差是1%，为了方便论证，假定验证集误差是11%，可以看出训练集设置得非常好，而验证集设置相对较差，我们可能过度拟合了训练集，在某种程度上，验证集并没有充分利用交叉验证集的作用，像这种情况，我们称之为“高方差”。</p><p>通过查看训练集误差和验证集误差，我们便可以诊断算法是否具有高方差。也就是说衡量训练集和验证集误差就可以得出不同结论。</p><p>假设训练集误差是15%，我们把训练集误差写在首行，验证集误差是16%，假设该案例中人的错误率几乎为0%，人们浏览这些图片，分辨出是不是猫。算法并没有在训练集中得到很好训练，如果训练数据的拟合度不高，就是数据欠拟合，就可以说这种算法偏差比较高。相反，它对于验证集产生的结果却是合理的，验证集中的错误率只比训练集的多了1%，所以这种算法偏差高，因为它甚至不能拟合训练集，这与上一张幻灯片最左边的图片相似。</p><p>再举一个例子，训练集误差是15%，偏差相当高，但是，验证集的评估结果更糟糕，错误率达到30%，在这种情况下，我会认为这种算法偏差高，因为它在训练集上结果不理想，而且方差也很高，这是方差偏差都很糟糕的情况。</p><p>再看最后一个例子，训练集误差是0.5%，验证集误差是1%，用户看到这样的结果会很开心，猫咪分类器只有1%的错误率，偏差和方差都很低。</p><p>有一点我先在这个简单提一下，具体的留在后面课程里讲，这些分析都是基于假设预测的，假设人眼辨别的错误率接近0%，一般来说，最优误差也被称为贝叶斯误差，所以，最优误差接近0%，我就不在这里细讲了，如果最优误差或贝叶斯误差非常高，比如15%。我们再看看这个分类器（训练误差15%，验证误差16%），15%的错误率对训练集来说也是非常合理的，偏差不高，方差也非常低。</p><p><img src='../images/c61d149beecddb96f0f93944320cf639.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>当所有分类器都不适用时，如何分析偏差和方差呢？比如，图片很模糊，即使是人眼，或者没有系统可以准确无误地识别图片，在这种情况下，最优误差会更高，那么分析过程就要做些改变了，我们暂时先不讨论这些细微差别，重点是通过查看训练集误差，我们可以判断数据拟合情况，至少对于训练数据是这样，可以判断是否有偏差问题，然后查看错误率有多高。当完成训练集训练，开始使用验证集验证时，我们可以判断方差是否过高，从训练集到验证集的这个过程中，我们可以判断方差是否过高。</p><p><img src='../images/fcdc2a7afbaaa07ca08b078bb4d37e8d.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>以上分析的前提都是假设基本误差很小，训练集和验证集数据来自相同分布，如果没有这些假设作为前提，分析过程更加复杂，我们将会在稍后课程里讨论。</p><p>上一张幻灯片，我们讲了高偏差和高方差的情况，大家应该对优质分类器有了一定的认识，偏差和方差都高是什么样子呢？这种情况对于两个衡量标准来说都是非常糟糕的。</p><p><img src='../images/f8fdbf9ed01b8634573125e0fb2ca860.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我们之前讲过，这样的分类器，会产生高偏差，因为它的数据拟合度低，像这种接近线性的分类器，数据拟合度低。</p><p><img src='../images/e9451f36e8baa41b74c95d9a09b0f028.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>但是如果我们稍微改变一下分类器，我用紫色笔画出，它会过度拟合部分数据，用紫色线画出的分类器具有高偏差和高方差，偏差高是因为它几乎是一条线性分类器，并未拟合数据。</p><p><img src='../images/6e86aa7d9b21b1a49bf4a084c7503527.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这种二次曲线能够很好地拟合数据。</p><p><img src='../images/67dc5997a956314e238e6fc362f9883d.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这条曲线中间部分灵活性非常高，却过度拟合了这两个样本，这类分类器偏差很高，因为它几乎是线性的。</p><p><img src='../images/6bf7e092ddf93104ea64a5ddecbb7c6d.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>而采用曲线函数或二次元函数会产生高方差，因为它曲线灵活性太高以致拟合了这两个错误样本和中间这些活跃数据。</p><p>这看起来有些不自然，从两个维度上看都不太自然，但对于高维数据，有些数据区域偏差高，有些数据区域方差高，所以在高维数据中采用这种分类器看起来就不会那么牵强了。</p><p>总结一下，我们讲了如何通过分析在训练集上训练算法产生的误差和验证集上验证算法产生的误差来诊断算法是否存在高偏差和高方差，是否两个值都高，或者两个值都不高，根据算法偏差和方差的具体情况决定接下来你要做的工作，下节课，我会根据算法偏差和方差的高低情况讲解一些机器学习的基本方法，帮助大家更系统地优化算法，我们下节课见。</p><p>&nbsp;</p><h3><a name='header-n78' class='md-header-anchor '></a>1.3 机器学习基础（Basic Recipe for Machine Learning）</h3><p>上节课我们讲的是如何通过训练误差和验证集误差判断算法偏差或方差是否偏高，帮助我们更加系统地在机器学习中运用这些方法来优化算法性能。</p><p>下图就是我在训练神经网络用到的基本方法：（尝试这些方法，可能有用，可能没用）</p><p><img src='../images/L2_week1_8.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这是我在训练神经网络时用到地基本方法，初始模型训练完成后，我首先要知道算法的偏差高不高，如果偏差较高，试着评估训练集或训练数据的性能。如果偏差的确很高，甚至无法拟合训练集，那么你要做的就是选择一个新的网络，比如含有更多隐藏层或者隐藏单元的网络，或者花费更多时间来训练网络，或者尝试更先进的优化算法，后面我们会讲到这部分内容。你也可以尝试其他方法，可能有用，也可能没用。</p><p>一会儿我们会看到许多不同的神经网络架构，或许你能找到一个更合适解决此问题的新的网络架构，加上括号，因为其中一条就是你必须去尝试，可能有用，也可能没用，不过采用规模更大的网络通常都会有所帮助，延长训练时间不一定有用，但也没什么坏处。训练学习算法时，我会不断尝试这些方法，直到解决掉偏差问题，这是最低标准，反复尝试，直到可以拟合数据为止，至少能够拟合训练集。</p><p>如果网络足够大，通常可以很好的拟合训练集，只要你能扩大网络规模，如果图片很模糊，算法可能无法拟合该图片，但如果有人可以分辨出图片，如果你觉得基本误差不是很高，那么训练一个更大的网络，你就应该可以……至少可以很好地拟合训练集，至少可以拟合或者过拟合训练集。一旦偏差降低到可以接受的数值，检查一下方差有没有问题，为了评估方差，我们要查看验证集性能，我们能从一个性能理想的训练集推断出验证集的性能是否也理想，如果方差高，最好的解决办法就是采用更多数据，如果你能做到，会有一定的帮助，但有时候，我们无法获得更多数据，我们也可以尝试通过正则化来减少过拟合，这个我们下节课会讲。有时候我们不得不反复尝试，但是，如果能找到更合适的神经网络框架，有时它可能会一箭双雕，同时减少方差和偏差。如何实现呢？想系统地说出做法很难，总之就是不断重复尝试，直到找到一个低偏差，低方差的框架，这时你就成功了。</p><p>有两点需要大家注意：</p><p>第一点，高偏差和高方差是两种不同的情况，我们后续要尝试的方法也可能完全不同，我通常会用训练验证集来诊断算法是否存在偏差或方差问题，然后根据结果选择尝试部分方法。举个例子，如果算法存在高偏差问题，准备更多训练数据其实也没什么用处，至少这不是更有效的方法，所以大家要清楚存在的问题是偏差还是方差，还是两者都有问题，明确这一点有助于我们选择出最有效的方法。</p><p>第二点，在机器学习的初期阶段，关于所谓的偏差方差权衡的讨论屡见不鲜，原因是我们能尝试的方法有很多。可以增加偏差，减少方差，也可以减少偏差，增加方差，但是在深度学习的早期阶段，我们没有太多工具可以做到只减少偏差或方差却不影响到另一方。但在当前的深度学习和大数据时代，只要持续训练一个更大的网络，只要准备了更多数据，那么也并非只有这两种情况，我们假定是这样，那么，只要正则适度，通常构建一个更大的网络便可以，在不影响方差的同时减少偏差，而采用更多数据通常可以在不过多影响偏差的同时减少方差。这两步实际要做的工作是：训练网络，选择网络或者准备更多数据，现在我们有工具可以做到在减少偏差或方差的同时，不对另一方产生过多不良影响。我觉得这就是深度学习对监督式学习大有裨益的一个重要原因，也是我们不用太过关注如何平衡偏差和方差的一个重要原因，但有时我们有很多选择，减少偏差或方差而不增加另一方。最终，我们会得到一个非常规范化的网络。从下节课开始，我们将讲解正则化，训练一个更大的网络几乎没有任何负面影响，而训练一个大型神经网络的主要代价也只是计算时间，前提是网络是比较规范化的。</p><p> 今天我们讲了如何通过组织机器学习来诊断偏差和方差的基本方法，然后选择解决问题的正确操作，希望大家有所了解和认识。我在课上不止一次提到了正则化，它是一种非常实用的减少方差的方法，正则化时会出现偏差方差权衡问题，偏差可能略有增加，如果网络足够大，增幅通常不会太高，我们下节课再细讲，以便大家更好理解如何实现神经网络的正则化。</p><h3><a name='header-n89' class='md-header-anchor '></a>1.4 正则化（Regularization）</h3><p>深度学习可能存在过拟合问题——高方差，有两个解决方法，一个是正则化，另一个是准备更多的数据，这是非常可靠的方法，但你可能无法时时刻刻准备足够多的训练数据或者获取更多数据的成本很高，但正则化通常有助于避免过拟合或减少你的网络误差。</p><p>如果你怀疑神经网络过度拟合了数据，即存在高方差问题，那么最先想到的方法可能是正则化，另一个解决高方差的方法就是准备更多数据，这也是非常可靠的办法，但你可能无法时时准备足够多的训练数据，或者，获取更多数据的成本很高，但正则化有助于避免过度拟合，或者减少网络误差，下面我们就来讲讲正则化的作用原理。</p><p>我们用逻辑回归来实现这些设想，求成本函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>的最小值，它是我们定义的成本函数，参数包含一些训练数据和不同数据中个体预测的损失，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>是逻辑回归的两个参数，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>是一个多维度参数矢量，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>是一个实数。在逻辑回归函数中加入正则化，只需添加参数λ，也就是正则化参数，一会儿再详细讲。</p><p><span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-938-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.099ex" height="3.278ex" viewBox="0 -956.9 1334.4 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E938-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path stroke-width="0" id="E938-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.985ex" height="2.461ex" viewBox="-12 -755.9 424 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex; margin-left: -0.028ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E631-MJMATHI-6A" d="M297 596Q297 627 318 644T361 661Q378 661 389 651T403 623Q403 595 384 576T340 557Q322 557 310 567T297 596ZM288 376Q288 405 262 405Q240 405 220 393T185 362T161 325T144 293L137 279Q135 278 121 278H107Q101 284 101 286T105 299Q126 348 164 391T252 441Q253 441 260 441T272 442Q296 441 316 432Q341 418 354 401T367 348V332L318 133Q267 -67 264 -75Q246 -125 194 -164T75 -204Q25 -204 7 -183T-12 -137Q-12 -110 7 -91T53 -71Q70 -71 82 -81T95 -112Q95 -148 63 -167Q69 -168 77 -168Q111 -168 139 -140T182 -74L193 -32Q204 11 219 72T251 197T278 308T289 365Q289 372 288 376Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E631-MJMATHI-6A" x="0" 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284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E940-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E940-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E940-MJMATHI-78" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-940">n_{x}</script>）平方的和，也可表示为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-941-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.714ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 2029.8 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E941-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path stroke-width="0" id="E941-MJMATHI-54" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E941-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E941-MJMATHI-54" x="1012" y="513"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E941-MJMATHI-77" x="1313" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-941">w^{T}w</script>，也就是向量参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script> 的欧几里德范数（2范数）的平方，此方法称为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化。因为这里用了欧几里德法线，被称为向量参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>范数。</p><p><img src='../images/fa185e95684bbe6c0e9100164aff2ee5.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>为什么只正则化参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 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670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script> 呢？你可以这么做，只是我习惯省略不写，因为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>通常是一个高维参数矢量，已经可以表达高偏差问题，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 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-0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>只是单个数字，所以<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>几乎涵盖所有参数，而不是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>，如果加了参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>，其实也没太大影响，因为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>只是众多参数中的一个，所以我通常省略不计，如果你想加上这个参数，完全没问题。</p><p><img src='../images/84c4e19130a91a09120087dd704bbaa4.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p><span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化是最常见的正则化类型，你们可能听说过<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-955-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E955-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E955-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 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-0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E955-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E955-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMAIN-31" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-955">L1</script>范数，无论分母是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-926-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.039ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 878 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E926-MJMATHI-6D" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E926-MJMATHI-6D" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-926">m</script>还是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-952-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.201ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1378 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMATHI-6D" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-32" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMATHI-6D" x="500" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-952">2m</script>，它都是一个比例常量。</p><p><img src='../images/5190dbc5a98db7a248499f54a04257cc.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果用的是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-955-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E955-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E955-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMAIN-31" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-955">L1</script>正则化，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>最终会是稀疏的，也就是说<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>向量中有很多0，有人说这样有利于压缩模型，因为集合中参数均为0，存储模型所占用的内存更少。实际上，虽然<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-955-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E955-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E955-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMAIN-31" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-955">L1</script>正则化使模型变得稀疏，却没有降低太多存储内存，所以我认为这并不是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-955-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E955-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E955-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E955-MJMAIN-31" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-955">L1</script>正则化的目的，至少不是为了压缩模型，人们在训练网络时，越来越倾向于使用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化。</p><p>我们来看最后一个细节，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>是正则化参数，我们通常使用验证集或交叉验证集来配置这个参数，尝试各种各样的数据，寻找最好的参数，我们要考虑训练集之间的权衡，把参数设置为较小值，这样可以避免过拟合，所以λ是另外一个需要调整的超级参数，顺便说一下，为了方便写代码，在<strong>Python</strong>编程语言中，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>是一个保留字段，编写代码时，我们删掉<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-856-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.229ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 529 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E856-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E856-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-856">a</script>，写成<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-959-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.171ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2657 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E959-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E959-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E959-MJMATHI-6D" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E959-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path stroke-width="0" id="E959-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E959-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E959-MJMATHI-61" x="298" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E959-MJMATHI-6D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E959-MJMATHI-62" x="1705" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E959-MJMATHI-64" x="2134" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-959">lambd</script>，以免与<strong>Python</strong>中的保留字段冲突，这就是在逻辑回归函数中实现<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 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429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化的过程，如何在神经网络中实现<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 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class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1252-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.963ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1275.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1252-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path stroke-width="0" id="E1252-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" 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100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.278ex" height="3.278ex" viewBox="0 -956.9 980.8 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E932-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E932-MJMATHI-6D" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 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stroke-width="0" id="E968-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 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113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-7C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-7C" x="278" y="0"></use><g transform="translate(556,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-7C" x="2339" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-7C" x="2617" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E968-MJMAIN-32" x="4094" y="877"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-968">{||W^{\left[l\right]}||}^{2}</script>（即平方范数），被定义为矩阵中所有元素的平方求和，</p><p><img src='../images/a8336b2cfeed4128a23f20fab843d226.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我们看下求和公式的具体参数，第一个求和符号其值<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-605-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.801ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 345 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 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transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E975-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E975-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E975-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E975-MJMAIN-5D" x="1853" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-975">n^{[l-1]}</script>表示第<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1169-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.693ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2020.4 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1169-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1169-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1169-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1169-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1169-MJMAIN-2212" x="520" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1169-MJMAIN-31" x="1520" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1169">l-1</script>层隐藏单元的数量。</p><p><img src='../images/5663bd9360df02b7e5a04c01d4e1bbc7.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>该矩阵范数被称作“弗罗贝尼乌斯范数”，用下标<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-977-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.74ex" height="1.877ex" viewBox="0 -755.9 749 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.121ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E977-MJMATHI-46" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E977-MJMATHI-46" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-977">F</script>标注”，鉴于线性代数中一些神秘晦涩的原因，我们不称之为“矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>范数”，而称它为“弗罗贝尼乌斯范数”，矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>范数听起来更自然，但鉴于一些大家无须知道的特殊原因，按照惯例，我们称之为“弗罗贝尼乌斯范数”，它表示一个矩阵中所有元素的平方和。</p><p><img src='../images/dffec3cca0e523e22646704e5e76c39a.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>该如何使用该范数实现梯度下降呢？</p><p>用<strong>backprop</strong>计算出<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1248-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.649ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1571 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1248-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1248-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 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id="E1229-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1229-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1229-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1229-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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-10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1248-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1248-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1248-MJMATHI-57" x="523" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1248">dW</script>。</p><p><img src='../images/b6856a371ed552fd6b9ada2068ab4c2c.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这就是之前我们额外增加的正则化项，既然已经增加了这个正则项，现在我们要做的就是给<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1248-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.649ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1571 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1248-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 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418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1248-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1248-MJMATHI-57" x="523" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1248">dW</script>加上这一项<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-987-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.42ex" height="3.278ex" viewBox="0 -956.9 2764 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E987-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 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id="MathJax-Element-991-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.356ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2306.1 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E991-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" 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stroke="none" width="740" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E994-MJMATHI-3BB" x="232" y="583"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E994-MJMATHI-6D" x="84" y="-488"></use></g><g transform="translate(980,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E994-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E994-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E994-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E994-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-994">\frac{\lambda}{m}W^{[l]}</script>。</p><p><img src='../images/f752bc74e0978320a72bcb15d1777cf8.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>该正则项说明，不论<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1229-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.141ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1783.1 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1229-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.314ex" height="3.278ex" viewBox="0 -956.9 4010.3 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E999-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E999-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E999-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E999-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 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inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 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style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>被更新为少了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-856-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.229ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 529 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E856-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E856-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-856">a</script>乘以<strong>backprop</strong>输出的最初梯度值，同时<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>也乘以了这个系数，这个系数小于1，因此<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化也被称为“权重衰减”。</p><p><img src='../images/cba0f1c7a480139acb04e762e4fe57f8.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我不打算这么叫它，之所以叫它“权重衰减”是因为这两项相等，权重指标乘以了一个小于1的系数。</p><p>以上就是在神经网络中应用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化的过程，有人会问我，为什么正则化可以预防过拟合，我们放在下节课讲，同时直观感受一下正则化是如何预防过拟合的。</p><h3><a name='header-n119' class='md-header-anchor '></a>1.5 为什么正则化有利于预防过拟合呢？（Why regularization reduces overfitting?）</h3><p>为什么正则化有利于预防过拟合呢？为什么它可以减少方差问题？我们通过两个例子来直观体会一下。</p><p><img src='../images/15d5607b8ac1c1fbaa023cb6060633f2.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p><img src='../images/1a6c47e64293cde6a0facb3872701db2.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>左图是高偏差，右图是高方差，中间是<strong>Just Right</strong>，这几张图我们在前面课程中看到过。</p><p><img src='../images/d5ee6f2b60ff7601d50967f4365d0ecb.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>现在我们来看下这个庞大的深度拟合神经网络。我知道这张图不够大，深度也不够，但你可以想象这是一个过拟合的神经网络。这是我们的代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，含有参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>。我们添加正则项，它可以避免数据权值矩阵过大，这就是弗罗贝尼乌斯范数，为什么压缩<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>范数，或者弗罗贝尼乌斯范数或者参数可以减少过拟合？</p><p>直观上理解就是如果正则化<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>设置得足够大，权重矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>被设置为接近于0的值，直观理解就是把多隐藏单元的权重设为0，于是基本上消除了这些隐藏单元的许多影响。如果是这种情况，这个被大大简化了的神经网络会变成一个很小的网络，小到如同一个逻辑回归单元，可是深度却很大，它会使这个网络从过度拟合的状态更接近左图的高偏差状态。</p><p>但是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>会存在一个中间值，于是会有一个接近“<strong>Just Right</strong>”的中间状态。</p><p>直观理解就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>增加到足够大，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>会接近于0，实际上是不会发生这种情况的，我们尝试消除或至少减少许多隐藏单元的影响，最终这个网络会变得更简单，这个神经网络越来越接近逻辑回归，我们直觉上认为大量隐藏单元被完全消除了，其实不然，实际上是该神经网络的所有隐藏单元依然存在，但是它们的影响变得更小了。神经网络变得更简单了，貌似这样更不容易发生过拟合，因此我不确定这个直觉经验是否有用，不过在编程中执行正则化时，你实际看到一些方差减少的结果。</p><p><img src='../images/2aafa244c3f184cc271b26d1d95d70c9.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我们再来直观感受一下，正则化为什么可以预防过拟合，假设我们用的是这样的双曲线激活函数。</p><p><img src='../images/f35d94efc03123e4a5de6496c1b896c0.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1017-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.009ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 1726 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1017-MJMATHI-67" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1017-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1017-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path stroke-width="0" id="E1017-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMATHI-67" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMAIN-28" x="480" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMATHI-7A" x="869" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMAIN-29" x="1337" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1017">g(z)</script>表示<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1014-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.692ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 3312 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1014-MJMATHI-74" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 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328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1014-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1014-MJMATHI-68" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1014-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1014-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path stroke-width="0" id="E1014-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMATHI-74" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMATHI-61" x="361" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMATHI-6E" x="890" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMATHI-68" x="1490" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMAIN-28" x="2066" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMATHI-7A" x="2455" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1014-MJMAIN-29" x="2923" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1014">tanh(z)</script>,那么我们发现，只要<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>非常小，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>只涉及少量参数，这里我们利用了双曲正切函数的线性状态，只要<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>可以扩展为这样的更大值或者更小值，激活函数开始变得非线性。</p><p><img src='../images/884d5768243f4badc77356f843cb8c0c.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>现在你应该摒弃这个直觉，如果正则化参数λ很大，激活函数的参数会相对较小，因为代价函数中的参数变大了，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>很小，</p><p><img src='../images/63fa65e2609fe7a6909544247855d1a5.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>很小，相对来说，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>也会很小。</p><p><img src='../images/fcdff0820223fb8a5756ad0bf99991fe.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>特别是，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>的值最终在这个范围内，都是相对较小的值，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1017-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.009ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 1726 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1017-MJMATHI-67" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1017-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1017-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path stroke-width="0" id="E1017-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMATHI-67" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMAIN-28" x="480" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMATHI-7A" x="869" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1017-MJMAIN-29" x="1337" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1017">g(z)</script>大致呈线性，每层几乎都是线性的，和线性回归函数一样。</p><p><img src='../images/8248be8e83121535b73969a4599fbb08.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>第一节课我们讲过，如果每层都是线性的，那么整个网络就是一个线性网络，即使是一个非常深的深层网络，因具有线性激活函数的特征，最终我们只能计算线性函数，因此，它不适用于非常复杂的决策，以及过度拟合数据集的非线性决策边界，如同我们在幻灯片中看到的过度拟合高方差的情况。</p><p><img src='../images/307675386a412e57cf60be3381f02a64.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>总结一下，如果正则化参数变得很大，参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>很小，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>也会相对变小，此时忽略<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>的影响，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>会相对变小，实际上，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>的取值范围很小，这个激活函数，也就是曲线函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1019-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.798ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2066 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1019-MJMATHI-74" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path stroke-width="0" id="E1019-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1019-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1019-MJMATHI-68" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMATHI-74" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMATHI-61" x="361" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMATHI-6E" x="890" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMATHI-68" x="1490" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1019">tanh</script>会相对呈线性，整个神经网络会计算离线性函数近的值，这个线性函数非常简单，并不是一个极复杂的高度非线性函数，不会发生过拟合。</p><p>大家在编程作业里实现正则化的时候，会亲眼看到这些结果，总结正则化之前，我给大家一个执行方面的小建议，在增加正则化项时，应用之前定义的代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，我们做过修改，增加了一项，目的是预防权重过大。</p><p><img src='../images/b84cc50eb967cd177007e21e93960b5c.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果你使用的是梯度下降函数，在调试梯度下降时，其中一步就是把代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>设计成这样一个函数，在调试梯度下降时，它代表梯度下降的调幅数量。可以看到，代价函数对于梯度下降的每个调幅都单调递减。如果你实施的是正则化函数，请牢记，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>已经有一个全新的定义。如果你用的是原函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，也就是这第一个项正则化项，你可能看不到单调递减现象，为了调试梯度下降，请务必使用新定义的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>函数，它包含第二个正则化项，否则函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>可能不会在所有调幅范围内都单调递减。</p><p>这就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化，它是我在训练深度学习模型时最常用的一种方法。在深度学习中，还有一种方法也用到了正则化，就是<strong>dropout</strong>正则化，我们下节课再讲。</p><h3><a name='header-n147' class='md-header-anchor '></a>1.6 dropout 正则化（Dropout Regularization）</h3><p>除了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化，还有一个非常实用的正则化方法——“<strong>Dropout</strong>（随机失活）”，我们来看看它的工作原理。</p><p><img src='../images/97e37bf0d2893f890561cda932ba8c42.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>假设你在训练上图这样的神经网络，它存在过拟合，这就是<strong>dropout</strong>所要处理的，我们复制这个神经网络，<strong>dropout</strong>会遍历网络的每一层，并设置消除神经网络中节点的概率。假设网络中的每一层，每个节点都以抛硬币的方式设置概率，每个节点得以保留和消除的概率都是0.5，设置完节点概率，我们会消除一些节点，然后删除掉从该节点进出的连线，最后得到一个节点更少，规模更小的网络，然后用<strong>backprop</strong>方法进行训练。</p><p><img src='../images/e45f9a948989b365650ddf16f62b097e.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p><img src='../images/9fa7196adeeaf88eb386fda2e9fa9909.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这是网络节点精简后的一个样本，对于其它样本，我们照旧以抛硬币的方式设置概率，保留一类节点集合，删除其它类型的节点集合。对于每个训练样本，我们都将采用一个精简后神经网络来训练它，这种方法似乎有点怪，单纯遍历节点，编码也是随机的，可它真的有效。不过可想而知，我们针对每个训练样本训练规模极小的网络，最后你可能会认识到为什么要正则化网络，因为我们在训练极小的网络。</p><p><img src='../images/70b248490e496fed9b8d1d616e4d8303.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如何实施<strong>dropout</strong>呢？方法有几种，接下来我要讲的是最常用的方法，即<strong>inverted dropout</strong>（反向随机失活），出于完整性考虑，我们用一个三层（<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1022-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.951ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2131.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1022-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1022-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1022-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1022-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1022-MJMAIN-3D" x="575" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1022-MJMAIN-33" x="1631" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1022">l=3</script>）网络来举例说明。编码中会有很多涉及到3的地方。我只举例说明如何在某一层中实施<strong>dropout</strong>。</p><p>首先要定义向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-226-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.215ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 523 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E226-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E226-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-226">d</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1049-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.183ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1370.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1049-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><g transform="translate(523,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1049">d^{[3]}</script>表示一个三层的<strong>dropout</strong>向量：</p><p><code>d3 = np.random.rand(a3.shape[0],a3.shape[1])</code></p><p>然后看它是否小于某数，我们称之为<strong>keep-prob</strong>，<strong>keep-prob</strong>是一个具体数字，上个示例中它是0.5，而本例中它是0.8，它表示保留某个隐藏单元的概率，此处<strong>keep-prob</strong>等于0.8，它意味着消除任意一个隐藏单元的概率是0.2，它的作用就是生成随机矩阵，如果对<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">a^{[3]}</script>进行因子分解，效果也是一样的。<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1049-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.183ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1370.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1049-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1049">d^{[3]}</script>是一个矩阵，每个样本和每个隐藏单元，其中<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1049-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.183ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1370.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1049-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><g transform="translate(523,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1049">d^{[3]}</script>中的对应值为1的概率都是0.8，对应为0的概率是0.2，随机数字小于0.8。它等于1的概率是0.8，等于0的概率是0.2。</p><p>接下来要做的就是从第三层中获取激活函数，这里我们叫它<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5D" d="M22 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=np.multiply(a3,d3)</code>，这里是元素相乘，也可写为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1032-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.025ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 3885.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1032-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" 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id="MathJax-Element-1032">a3*=d3</script>，它的作用就是让<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1049-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.183ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1370.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1049-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 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id="MathJax-Element-1049">d^{[3]}</script>中0元素与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">a^{[3]}</script>中相对元素归零。</p><p><img src='../images/c75fe55c6bc17b60b00f5360aab180f4.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果用<strong>python</strong>实现该算法的话，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1049-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.183ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1370.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1049-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><g transform="translate(523,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1049">d^{[3]}</script>则是一个布尔型数组，值为<strong>true</strong>和<strong>false</strong>，而不是1和0，乘法运算依然有效，<strong>python</strong>会把<strong>true</strong>和<strong>false</strong>翻译为1和0，大家可以用<strong>python</strong>尝试一下。</p><p>最后，我们向外扩展<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">a^{[3]}</script>，用它除以0.8，或者除以<strong>keep-prob</strong>参数。</p><p><img src='../images/6ba17ffcb3ff22a4a0ec857e66946086.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>下面我解释一下为什么要这么做，为方便起见，我们假设第三隐藏层上有50个单元或50个神经元，在一维上<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">a^{[3]}</script>是50，我们通过因子分解将它拆分成<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1040-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.201ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 3100.4 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1040-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path stroke-width="0" id="E1040-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 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viewBox="0 -956.9 4716.4 1260.5" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 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137Q392 154 387 169T375 194T353 216T330 234T301 253T274 270Q260 279 244 289T218 306L210 311Q204 311 181 294T133 239T107 157Q107 98 150 60T250 21Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use><g transform="translate(716,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-34" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(1562,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-2F" x="2938" y="0"></use><g transform="translate(3438,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-30"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-2E" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-38" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1046">w^{[4]} a^{[3]}/0.8</script>，它将会修正或弥补我们所需的那20%，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">a^{[3]}</script>的期望值不会变，划线部分就是所谓的<strong>dropout</strong>方法。</p><p><img src='../images/272d902720be9993454c6d9a5f0bec49.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>它的功能是，不论<strong>keep-prop</strong>的值是多少0.8，0.9甚至是1，如果<strong>keep-prop</strong>设置为1，那么就不存在<strong>dropout</strong>，因为它会保留所有节点。反向随机失活（<strong>inverted dropout</strong>）方法通过除以<strong>keep-prob</strong>，确保<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1133-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1133-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1133-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1133-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1133">a^{[3]}</script>的期望值不变。</p><p>事实证明，在测试阶段，当我们评估一个神经网络时，也就是用绿线框标注的反向随机失活方法，使测试阶段变得更容易，因为它的数据扩展问题变少，我们将在下节课讨论。</p><p>据我了解，目前实施<strong>dropout</strong>最常用的方法就是<strong>Inverted dropout</strong>，建议大家动手实践一下。<strong>Dropout</strong>早期的迭代版本都没有除以<strong>keep-prob</strong>，所以在测试阶段，平均值会变得越来越复杂，不过那些版本已经不再使用了。</p><p>现在你使用的是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-226-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.215ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 523 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E226-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E226-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-226">d</script>向量，你会发现，不同的训练样本，清除不同的隐藏单元也不同。实际上，如果你通过相同训练集多次传递数据，每次训练数据的梯度不同，则随机对不同隐藏单元归零，有时却并非如此。比如，需要将相同隐藏单元归零，第一次迭代梯度下降时，把一些隐藏单元归零，第二次迭代梯度下降时，也就是第二次遍历训练集时，对不同类型的隐藏层单元归零。向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-226-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.215ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 523 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E226-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E226-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-226">d</script>或<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1049-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.183ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1370.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1049-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1049-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><g transform="translate(523,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1049-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1049">d^{[3]}</script>用来决定第三层中哪些单元归零，无论用<strong>foreprop</strong>还是<strong>backprop</strong>，这里我们只介绍了<strong>foreprob</strong>。</p><p>如何在测试阶段训练算法，在测试阶段，我们已经给出了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-879-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E879-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E879-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-879">x</script>，或是想预测的变量，用的是标准计数法。我用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1050-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1050-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1050">a^{\lbrack0]}</script>，第0层的激活函数标注为测试样本<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-879-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E879-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E879-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-879">x</script>，我们在测试阶段不使用<strong>dropout</strong>函数，尤其是像下列情况：</p><p><span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1051-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="18.78ex" height="2.577ex" viewBox="0 -956.9 8085.8 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.355ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 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id="MathJax-Element-907-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.301ex" height="2.461ex" viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E907-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E907-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E907-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E907-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-907">\hat{y}</script>。</p><p><img src='../images/de49d4e160f29544055819c5ab1dd9c0.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>显然在测试阶段，我们并未使用<strong>dropout</strong>，自然也就不用抛硬币来决定失活概率，以及要消除哪些隐藏单元了，因为在测试阶段进行预测时，我们不期望输出结果是随机的，如果测试阶段应用<strong>dropout</strong>函数，预测会受到干扰。理论上，你只需要多次运行预测处理过程，每一次，不同的隐藏单元会被随机归零，预测处理遍历它们，但计算效率低，得出的结果也几乎相同，与这个不同程序产生的结果极为相似。</p><p><strong>Inverted dropout</strong>函数在除以<strong>keep-prob</strong>时可以记住上一步的操作，目的是确保即使在测试阶段不执行<strong>dropout</strong>来调整数值范围，激活函数的预期结果也不会发生变化，所以没必要在测试阶段额外添加尺度参数，这与训练阶段不同。</p><p><span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1055-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="15.51ex" height="2.344ex" viewBox="0 -755.9 6678 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1055-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1055-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1055-MJMATHI-6B" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path stroke-width="0" id="E1055-MJMATHI-65" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path stroke-width="0" id="E1055-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 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-11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path><path stroke-width="0" id="E1055-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMAIN-3D" x="575" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-6B" x="1631" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-65" x="2152" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-65" x="2618" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-70" x="3084" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMAIN-2212" x="3809" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-70" x="4810" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-72" x="5313" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-6F" x="5764" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1055-MJMATHI-62" x="6249" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1055">l=keep-prob</script></p><p>这就是<strong>dropout</strong>，大家可以通过本周的编程练习来执行这个函数，亲身实践一下。</p><p>为什么<strong>dropout</strong>会起作用呢？下节课我们将更加直观地了解<strong>dropout</strong>的具体功能。</p><h3><a name='header-n183' class='md-header-anchor '></a>1.7 理解 dropout（Understanding Dropout）</h3><p><strong>Dropout</strong>可以随机删除网络中的神经单元，他为什么可以通过正则化发挥如此大的作用呢？</p><p>直观上理解：不要依赖于任何一个特征，因为该单元的输入可能随时被清除，因此该单元通过这种方式传播下去，并为单元的四个输入增加一点权重，通过传播所有权重，<strong>dropout</strong>将产生收缩权重的平方范数的效果，和之前讲的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化类似；实施<strong>dropout</strong>的结果实它会压缩权重，并完成一些预防过拟合的外层正则化；<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>对不同权重的衰减是不同的，它取决于激活函数倍增的大小。</p><p>总结一下，<strong>dropout</strong>的功能类似于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化，与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化不同的是应用方式不同会带来一点点小变化，甚至更适用于不同的输入范围。</p><p><img src='../images/L2_week1_16.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>第二个直观认识是，我们从单个神经元入手，如图，这个单元的工作就是输入并生成一些有意义的输出。通过<strong>dropout</strong>，该单元的输入几乎被消除，有时这两个单元会被删除，有时会删除其它单元，就是说，我用紫色圈起来的这个单元，它不能依靠任何特征，因为特征都有可能被随机清除，或者说该单元的输入也都可能被随机清除。我不愿意把所有赌注都放在一个节点上，不愿意给任何一个输入加上太多权重，因为它可能会被删除，因此该单元将通过这种方式积极地传播开，并为单元的四个输入增加一点权重，通过传播所有权重，<strong>dropout</strong>将产生收缩权重的平方范数的效果，和我们之前讲过的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化类似，实施<strong>dropout</strong>的结果是它会压缩权重，并完成一些预防过拟合的外层正则化。</p><p>事实证明，<strong>dropout</strong>被正式地作为一种正则化的替代形式，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>对不同权重的衰减是不同的，它取决于倍增的激活函数的大小。</p><p>总结一下，<strong>dropout</strong>的功能类似于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化，与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化不同的是，被应用的方式不同，<strong>dropout</strong>也会有所不同，甚至更适用于不同的输入范围。</p><p><img src='../images/9b9f963a73e3ef9fcac008b179b6cf74.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>实施<strong>dropout</strong>的另一个细节是，这是一个拥有三个输入特征的网络，其中一个要选择的参数是<strong>keep-prob</strong>，它代表每一层上保留单元的概率。所以不同层的<strong>keep-prob</strong>也可以变化。第一层，矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1250-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1250-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 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class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1115-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1115-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 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xlink:href="#E1115-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMAIN-32" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1115">W^{[2]}</script>是最大的权重矩阵，因为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1115-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1115-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1115-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1115-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1115-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMAIN-32" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1115">W^{[2]}</script>拥有最大参数集，即7×7，为了预防矩阵的过拟合，对于这一层，我认为这是第二层，它的<strong>keep-prob</strong>值应该相对较低，假设是0.5。对于其它层，过拟合的程度可能没那么严重，它们的<strong>keep-prob</strong>值可能高一些，可能是0.7，这里是0.7。如果在某一层，我们不必担心其过拟合的问题，那么<strong>keep-prob</strong>可以为1，为了表达清除，我用紫色线笔把它们圈出来，每层<strong>keep-prob</strong>的值可能不同。</p><p><img src='../images/5fcb1441866d6d3eff1164ed4ea38cfe.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>注意<strong>keep-prob</strong>的值是1，意味着保留所有单元，并且不在这一层使用<strong>dropout</strong>，对于有可能出现过拟合，且含有诸多参数的层，我们可以把<strong>keep-prob</strong>设置成比较小的值，以便应用更强大的<strong>dropout</strong>，有点像在处理<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化的正则化参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>，我们尝试对某些层施行更多正则化，从技术上讲，我们也可以对输入层应用<strong>dropout</strong>，我们有机会删除一个或多个输入特征，虽然现实中我们通常不这么做，<strong>keep-prob</strong>的值为1，是非常常用的输入值，也可以用更大的值，或许是0.9。但是消除一半的输入特征是不太可能的，如果我们遵守这个准则，<strong>keep-prob</strong>会接近于1，即使你对输入层应用<strong>dropout</strong>。</p><p>总结一下，如果你担心某些层比其它层更容易发生过拟合，可以把某些层的<strong>keep-prob</strong>值设置得比其它层更低，缺点是为了使用交叉验证，你要搜索更多的超级参数，另一种方案是在一些层上应用<strong>dropout</strong>，而有些层不用<strong>dropout</strong>，应用<strong>dropout</strong>的层只含有一个超级参数，就是<strong>keep-prob</strong>。</p><p>结束前分享两个实施过程中的技巧，实施<strong>dropout</strong>，在计算机视觉领域有很多成功的第一次。计算视觉中的输入量非常大，输入太多像素，以至于没有足够的数据，所以<strong>dropout</strong>在计算机视觉中应用得比较频繁，有些计算机视觉研究人员非常喜欢用它，几乎成了默认的选择，但要牢记一点，<strong>dropout</strong>是一种正则化方法，它有助于预防过拟合，因此除非算法过拟合，不然我是不会使用<strong>dropout</strong>的，所以它在其它领域应用得比较少，主要存在于计算机视觉领域，因为我们通常没有足够的数据，所以一直存在过拟合，这就是有些计算机视觉研究人员如此钟情于<strong>dropout</strong>函数的原因。直观上我认为不能概括其它学科。</p><p><img src='../images/13987e28fa537a110c6b123fc4455f7c.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p><strong>dropout</strong>一大缺点就是代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>不再被明确定义，每次迭代，都会随机移除一些节点，如果再三检查梯度下降的性能，实际上是很难进行复查的。定义明确的代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>每次迭代后都会下降，因为我们所优化的代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>实际上并没有明确定义，或者说在某种程度上很难计算，所以我们失去了调试工具来绘制这样的图片。我通常会关闭<strong>dropout</strong>函数，将<strong>keep-prob</strong>的值设为1，运行代码，确保J函数单调递减。然后打开<strong>dropout</strong>函数，希望在<strong>dropout</strong>过程中，代码并未引入<strong>bug</strong>。我觉得你也可以尝试其它方法，虽然我们并没有关于这些方法性能的数据统计，但你可以把它们与<strong>dropout</strong>方法一起使用。</p><h3><a name='header-n199' class='md-header-anchor '></a>1.8 其他正则化方法（Other regularization methods）</h3><p>除了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化和随机失活（<strong>dropout</strong>）正则化，还有几种方法可以减少神经网络中的过拟合:</p><p><img src='../images/L2_week1_17.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>一.数据扩增</p><p>假设你正在拟合猫咪图片分类器，如果你想通过扩增训练数据来解决过拟合，但扩增数据代价高，而且有时候我们无法扩增数据，但我们可以通过添加这类图片来增加训练集。例如，水平翻转图片，并把它添加到训练集。所以现在训练集中有原图，还有翻转后的这张图片，所以通过水平翻转图片，训练集则可以增大一倍，因为训练集有冗余，这虽然不如我们额外收集一组新图片那么好，但这样做节省了获取更多猫咪图片的花费。</p><p><img src='../images/2e2ccf4a2bb9156f876321ce07b006ca.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>除了水平翻转图片，你也可以随意裁剪图片，这张图是把原图旋转并随意放大后裁剪的，仍能辨别出图片中的猫咪。</p><p>通过随意翻转和裁剪图片，我们可以增大数据集，额外生成假训练数据。和全新的，独立的猫咪图片数据相比，这些额外的假的数据无法包含像全新数据那么多的信息，但我们这么做基本没有花费，代价几乎为零，除了一些对抗性代价。以这种方式扩增算法数据，进而正则化数据集，减少过拟合比较廉价。</p><p><img src='../images/dd9a0f8209e53fdab8030b98d39e11eb.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>像这样人工合成数据的话，我们要通过算法验证，图片中的猫经过水平翻转之后依然是猫。大家注意，我并没有垂直翻转，因为我们不想上下颠倒图片，也可以随机选取放大后的部分图片，猫可能还在上面。</p><p>对于光学字符识别，我们还可以通过添加数字，随意旋转或扭曲数字来扩增数据，把这些数字添加到训练集，它们仍然是数字。为了方便说明，我对字符做了强变形处理，所以数字4看起来是波形的，其实不用对数字4做这么夸张的扭曲，只要轻微的变形就好，我做成这样是为了让大家看的更清楚。实际操作的时候，我们通常对字符做更轻微的变形处理。因为这几个4看起来有点扭曲。所以，数据扩增可作为正则化方法使用，实际功能上也与正则化相似。</p><p>二.<strong>early stopping</strong></p><p>还有另外一种常用的方法叫作<strong>early stopping</strong>，运行梯度下降时，我们可以绘制训练误差，或只绘制代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>的优化过程，在训练集上用0-1记录分类误差次数。呈单调下降趋势，如图。</p><p><img src='../images/69d92a8de8f62ab602d2bc022591d3c9.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>因为在训练过程中，我们希望训练误差，代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>都在下降，通过<strong>early stopping</strong>，我们不但可以绘制上面这些内容，还可以绘制验证集误差，它可以是验证集上的分类误差，或验证集上的代价函数，逻辑损失和对数损失等，你会发现，验证集误差通常会先呈下降趋势，然后在某个节点处开始上升，<strong>early stopping</strong>的作用是，你会说，神经网络已经在这个迭代过程中表现得很好了，我们在此停止训练吧，得到验证集误差，它是怎么发挥作用的？</p><p><img src='../images/9d0db64a9c9b050466a039c935f36f93.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>当你还未在神经网络上运行太多迭代过程的时候，参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>接近0，因为随机初始化<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>值时，它的值可能都是较小的随机值，所以在你长期训练神经网络之前<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>依然很小，在迭代过程和训练过程中<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>的值会变得越来越大，比如在这儿，神经网络中参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>的值已经非常大了，所以<strong>early stopping</strong>要做就是在中间点停止迭代过程，我们得到一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>值中等大小的弗罗贝尼乌斯范数，与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化相似，选择参数w范数较小的神经网络，但愿你的神经网络过度拟合不严重。</p><p><img src='../images/51ca931387ed9fb80313263113c56e8e.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>术语<strong>early stopping</strong>代表提早停止训练神经网络，训练神经网络时，我有时会用到<strong>early stopping</strong>，但是它也有一个缺点，我们来了解一下。</p><p>我认为机器学习过程包括几个步骤，其中一步是选择一个算法来优化代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，我们有很多种工具来解决这个问题，如梯度下降，后面我会介绍其它算法，例如<strong>Momentum</strong>，<strong>RMSprop</strong>和<strong>Adam</strong>等等，但是优化代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>之后，我也不想发生过拟合，也有一些工具可以解决该问题，比如正则化，扩增数据等等。</p><p><img src='../images/f5fd5df8235145c54aece1a5bf7b31f6.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>在机器学习中，超级参数激增，选出可行的算法也变得越来越复杂。我发现，如果我们用一组工具优化代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，机器学习就会变得更简单，在重点优化代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>时，你只需要留意<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-934-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.969ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 3000.7 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E934-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 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385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-28" x="633" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMATHI-77" x="1022" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-2C" x="1738" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMATHI-62" x="2182" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-29" x="2611" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-934">J(w,b)</script>的值越小越好，你只需要想办法减小这个值，其它的不用关注。然后，预防过拟合还有其他任务，换句话说就是减少方差，这一步我们用另外一套工具来实现，这个原理有时被称为“正交化”。思路就是在一个时间做一个任务，后面课上我会具体介绍正交化，如果你还不了解这个概念，不用担心。</p><p>但对我来说<strong>early stopping</strong>的主要缺点就是你不能独立地处理这两个问题，因为提早停止梯度下降，也就是停止了优化代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，因为现在你不再尝试降低代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>，所以代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>的值可能不够小，同时你又希望不出现过拟合，你没有采取不同的方式来解决这两个问题，而是用一种方法同时解决两个问题，这样做的结果是我要考虑的东西变得更复杂。</p><p>如果不用<strong>early stopping</strong>，另一种方法就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化，训练神经网络的时间就可能很长。我发现，这导致超级参数搜索空间更容易分解，也更容易搜索，但是缺点在于，你必须尝试很多正则化参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>的值，这也导致搜索大量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>值的计算代价太高。</p><p><strong>Early stopping</strong>的优点是，只运行一次梯度下降，你可以找出<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>的较小值，中间值和较大值，而无需尝试<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化超级参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>的很多值。</p><p>如果你还不能完全理解这个概念，没关系，下节课我们会详细讲解正交化，这样会更好理解。</p><p>虽然<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化有缺点，可还是有很多人愿意用它。吴恩达老师个人更倾向于使用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化，尝试许多不同的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>值，假设你可以负担大量计算的代价。而使用<strong>early stopping</strong>也能得到相似结果，还不用尝试这么多<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.354ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 583 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1081-MJMATHI-3BB" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1081-MJMATHI-3BB" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">\lambda</script>值。</p><p>这节课我们讲了如何使用数据扩增，以及如何使用<strong>early stopping</strong>降低神经网络中的方差或预防过拟合。</p><h3><a name='header-n227' class='md-header-anchor '></a>1.9 归一化输入（Normalizing inputs）</h3><p>训练神经网络，其中一个加速训练的方法就是归一化输入。假设一个训练集有两个特征，输入特征为2维，归一化需要两个步骤：</p><ol start='' ><li><p>零均值</p></li><li><p>归一化方差；</p><p>我们希望无论是训练集和测试集都是通过相同的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1102-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.401ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 603 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1102-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1102-MJMATHI-3BC" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1102">μ</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1083-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.38ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1024.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1083-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path stroke-width="0" id="E1083-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 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style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1084-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path><path stroke-width="0" id="E1084-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1084-MJMAIN-31" 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transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMAIN-31" x="273" y="571"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMATHI-6D" x="84" y="-488"></use></g></g><g transform="translate(3084,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJSZ1-2211" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMATHI-6D" x="1493" y="674"></use><g transform="translate(1056,-286)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMATHI-69" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMAIN-3D" x="345" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMAIN-31" x="1123" y="0"></use></g></g><g transform="translate(5554,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><g transform="translate(572,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMATHI-69" x="389" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1084-MJMAIN-29" x="733" y="0"></use></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1084">\mu = \frac{1}{m}\sum_{i =1}^{m}x^{(i)}</script>，它是一个向量，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-879-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E879-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E879-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-879">x</script>等于每个训练数据 <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-879-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E879-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E879-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-879">x</script>减去<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1085-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.401ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 603 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1085-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1085-MJMATHI-3BC" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1085">\mu</script>，意思是移动训练集，直到它完成零均值化。</p><p><img src='../images/5e49434607f22caf087f7730177931bf.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>第二步是归一化方差，注意特征<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1157-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1157-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1157-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMAIN-31" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1157">x_{1}</script>的方差比特征<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1145-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1145-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 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619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMAIN-32" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1145">x_{2}</script>的方差要大得多，我们要做的是给<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-868-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E868-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1091-MJMATHI-79" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1091-MJMAIN-32" x="705" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1091">y^{2}</script>就是方差，我们把所有数据除以向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1103-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.383ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1025.9 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1103-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 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id="MathJax-Element-1103">\sigma^{2}</script>，最后变成上图形式。</p><p><span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1157-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1157-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1157-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMAIN-31" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1157">x_{1}</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1145-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1145-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1145-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMAIN-32" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1145">x_{2}</script>的方差都等于1。提示一下，如果你用它来调整训练数据，那么用相同的 <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1102-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.401ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 603 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1102-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1102-MJMATHI-3BC" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1102">μ</script> 和 <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1103-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.383ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1025.9 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1103-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path stroke-width="0" id="E1103-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMATHI-3C3" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMAIN-32" x="809" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1103">\sigma^{2}</script>来归一化测试集。尤其是，你不希望训练集和测试集的归一化有所不同，不论<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1102-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.401ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 603 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1102-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1102-MJMATHI-3BC" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1102">μ</script>的值是什么，也不论<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1103-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.383ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1025.9 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1103-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path stroke-width="0" id="E1103-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMATHI-3C3" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMAIN-32" x="809" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1103">\sigma^{2}</script>的值是什么，这两个公式中都会用到它们。所以你要用同样的方法调整测试集，而不是在训练集和测试集上分别预估<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1102-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.401ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 603 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1102-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1102-MJMATHI-3BC" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1102">μ</script> 和 <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1103-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.383ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1025.9 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1103-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path stroke-width="0" id="E1103-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMATHI-3C3" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMAIN-32" x="809" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1103">\sigma^{2}</script>。因为我们希望不论是训练数据还是测试数据，都是通过相同μ和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1103-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.383ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1025.9 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1103-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path stroke-width="0" id="E1103-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMATHI-3C3" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMAIN-32" x="809" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1103">\sigma^{2}</script>定义的相同数据转换，其中<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1102-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.401ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 603 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1102-MJMATHI-3BC" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1102-MJMATHI-3BC" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1102">μ</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1103-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.383ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 1025.9 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1103-MJMATHI-3C3" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path stroke-width="0" id="E1103-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMATHI-3C3" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1103-MJMAIN-32" x="809" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1103">\sigma^{2}</script>是由训练集数据计算得来的。</p><p>我们为什么要这么做呢？为什么我们想要归一化输入特征，回想一下右上角所定义的代价函数。</p><p><span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1104-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="26.819ex" height="5.846ex" viewBox="0 -1459.5 11547.2 2517" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -2.456ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1104-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path><path stroke-width="0" id="E1104-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 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transform="translate(397,0)"><rect stroke="none" width="740" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-31" x="273" y="571"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-6D" x="84" y="-488"></use></g></g><g transform="translate(5481,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJSZ1-2211" x="45" y="0"></use><g transform="translate(0,-888)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-69" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-3D" x="345" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-31" x="1123" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-6D" x="372" y="1343"></use></g><g transform="translate(6796,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-28" x="681" y="0"></use><g transform="translate(1070,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use><g transform="translate(560,408)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-69" x="389" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-29" x="733" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-2C" x="2524" y="0"></use><g transform="translate(2968,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-79" x="0" y="0"></use><g transform="translate(499,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMATHI-69" x="389" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-29" x="733" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1104-MJMAIN-29" x="4362" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1104">J(w,b)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{L({{{\hat{y}}}^{(i)}},{{y}^{(i)}})}</script></p><p>如果你使用非归一化的输入特征，代价函数会像这样：</p><p><img src='../images/bc4eccfb6c9dbef6cc81636d5ce60390.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这是一个非常细长狭窄的代价函数，你要找的最小值应该在这里。但如果特征值在不同范围，假如<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1157-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1157-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1157-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMAIN-31" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1157">x_{1}</script>取值范围从1到1000，特征<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1145-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1145-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1145-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMAIN-32" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1145">x_{2}</script>的取值范围从0到1，结果是参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1109-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.716ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1169.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1109-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path stroke-width="0" id="E1109-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1109-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1109-MJMAIN-31" x="1012" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1109">w_{1}</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1110-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.716ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1169.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" 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186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-32" x="1012" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1110">w_{2}</script>值的范围或比率将会非常不同，这些数据轴应该是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1109-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.716ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1169.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1109-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path stroke-width="0" id="E1109-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 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599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path stroke-width="0" id="E1110-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-32" x="1012" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1110">w_{2}</script>，但直观理解，我标记为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>，代价函数就有点像狭长的碗一样，如果你能画出该函数的部分轮廓，它会是这样一个狭长的函数。</p><p>然而如果你归一化特征，代价函数平均起来看更对称，如果你在上图这样的代价函数上运行梯度下降法，你必须使用一个非常小的学习率。因为如果是在这个位置，梯度下降法可能需要多次迭代过程，直到最后找到最小值。但如果函数是一个更圆的球形轮廓，那么不论从哪个位置开始，梯度下降法都能够更直接地找到最小值，你可以在梯度下降法中使用较大步长，而不需要像在左图中那样反复执行。</p><p>当然，实际上<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>是一个高维向量，因此用二维绘制<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>并不能正确地传达并直观理解，但总地直观理解是代价函数会更圆一些，而且更容易优化，前提是特征都在相似范围内，而不是从1到1000，0到1的范围，而是在-1到1范围内或相似偏差，这使得代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>优化起来更简单快速。</p><p><img src='../images/4d0c183882a140ecd205f1618243d7f8.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>实际上如果假设特征<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1157-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1157-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1157-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMAIN-31" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1157">x_{1}</script>范围在0-1之间，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1145-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1145-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1145-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1145-MJMAIN-32" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1145">x_{2}</script>的范围在-1到1之间，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1113-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1113-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1113-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1113-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1113-MJMAIN-33" x="808" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1113">x_{3}</script>范围在1-2之间，它们是相似范围，所以会表现得很好。</p><p>当它们在非常不同的取值范围内，如其中一个从1到1000，另一个从0到1，这对优化算法非常不利。但是仅将它们设置为均化零值，假设方差为1，就像上一张幻灯片里设定的那样，确保所有特征都在相似范围内，通常可以帮助学习算法运行得更快。</p><p>所以如果输入特征处于不同范围内，可能有些特征值从0到1，有些从1到1000，那么归一化特征值就非常重要了。如果特征值处于相似范围内，那么归一化就不是很重要了。执行这类归一化并不会产生什么危害，我通常会做归一化处理，虽然我不确定它能否提高训练或算法速度。</p><p>这就是归一化特征输入，下节课我们将继续讨论提升神经网络训练速度的方法。</p><h3><a name='header-n253' class='md-header-anchor '></a>1.10 梯度消失/梯度爆炸（Vanishing / Exploding gradients）</h3><p>训练神经网络，尤其是深度神经所面临的一个问题就是梯度消失或梯度爆炸，也就是你训练神经网络的时候，导数或坡度有时会变得非常大，或者非常小，甚至于以指数方式变小，这加大了训练的难度。</p><p>这节课，你将会了解梯度消失或梯度爆炸的真正含义，以及如何更明智地选择随机初始化权重，从而避免这个问题。
假设你正在训练这样一个极深的神经网络，为了节约幻灯片上的空间，我画的神经网络每层只有两个隐藏单元，但它可能含有更多，但这个神经网络会有参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1250-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1250-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1250">W^{[1]}</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1115-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1115-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1115-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1115-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1115-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1115-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" 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transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1229-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1229">W^{[l]}</script>，为了简单起见，假设我们使用激活函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1118-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.193ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 3527.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1118-MJMATHI-67" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 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id="MathJax-Element-1125">z^{[1]}</script>，所以第一项<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1126-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="12.094ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 5207.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1126-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1134-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1134-MJMATHI-78" x="5777" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1134">W^{[3]}W^{[2]}W^{[1]}x</script>)。</p><p><img src='../images/fc03196f0b6d1c9f56fa39d0d462cfa4.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>所有这些矩阵数据传递的协议将给出<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1135-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.301ex" height="2.461ex" viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1135-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1135-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1135-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1135-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1135">\hat y</script>而不是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-908-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.154ex" height="1.877ex" viewBox="0 -504.6 497 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E908-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E908-MJMATHI-79" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-908">y</script>的值。</p><p>假设每个权重矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1136-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="18.692ex" height="5.846ex" viewBox="0 -1509.8 8047.8 2517" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -2.339ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1136-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJSZ3-5B" d="M247 -949V1450H516V1388H309V-887H516V-949H247Z"></path><path stroke-width="0" id="E1136-MJSZ3-5D" d="M11 1388V1450H280V-949H11V-887H218V1388H11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-3D" x="2060" y="0"></use><g transform="translate(3116,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJSZ3-5B"></use><g transform="translate(695,0)"><g transform="translate(-15,0)"><g transform="translate(0,650)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-2E" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-35" x="778" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-30" x="389" y="-750"></use></g><g transform="translate(2263,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-30" x="389" y="650"></use><g transform="translate(0,-750)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-2E" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJMAIN-35" x="778" y="0"></use></g></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1136-MJSZ3-5D" x="4403" y="-1"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1136">W^{[l]} = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\0 & 1.5 \\\end{bmatrix}</script>，从技术上来讲，最后一项有不同维度，可能它就是余下的权重矩阵，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1137-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="26.234ex" height="6.43ex" viewBox="0 -1761.1 11294.9 2768.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -2.339ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1137-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1137-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1137-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJMAIN-3D" x="774" y="0"></use><g transform="translate(1830,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g><g transform="translate(3756,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJSZ3-5B"></use><g transform="translate(695,0)"><g transform="translate(-15,0)"><g transform="translate(0,650)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1137-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E907-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E907-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E907-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-907">\hat{y}</script>也就是等于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1138-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.024ex" height="2.577ex" viewBox="0 -1007.2 3885.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1138-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1138-MJMAIN-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path stroke-width="0" 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.582ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 681 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E545-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-545">L</script>值较大，那么<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-907-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.301ex" height="2.461ex" viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E907-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E907-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E907-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E907-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-907">\hat{y}</script>的值也会非常大，实际上它呈指数级增长的，它增长的比率是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1139-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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-23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E908-MJMATHI-79" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-908">y</script>的值将爆炸式增长。</p><p>相反的，如果权重是0.5，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1140-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="18.692ex" 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transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="884" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1152-MJMAIN-31" x="375" y="571"></use><g transform="translate(60,-524)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1152-MJMAIN-32" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1152-MJMATHI-4C" x="707" y="555"></use></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1152">\frac{1}{2^{L}}</script>，所以作为自定义函数，激活函数的值将以指数级下降，它是与网络层数数量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-545-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.582ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 681 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" 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style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>只比1略大一点，或者说只是比单位矩阵大一点，深度神经网络的激活函数将爆炸式增长，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>比1略小一点，可能是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1155-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="11.453ex" height="5.846ex" viewBox="0 -1509.8 4931.1 2517" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -2.339ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1155-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1155-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1155-MJMAIN-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path stroke-width="0" id="E1155-MJMAIN-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path stroke-width="0" id="E1155-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1155-MJSZ3-5B" d="M247 -949V1450H516V1388H309V-887H516V-949H247Z"></path><path stroke-width="0" id="E1155-MJSZ3-5D" d="M11 1388V1450H280V-949H11V-887H218V1388H11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJSZ3-5B"></use><g transform="translate(695,0)"><g transform="translate(-15,0)"><g transform="translate(0,650)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-30"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-2E" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-39" x="778" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-30" x="389" y="-750"></use></g><g transform="translate(2263,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-30" x="389" y="650"></use><g transform="translate(0,-750)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-30"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-2E" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJMAIN-39" x="778" y="0"></use></g></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1155-MJSZ3-5D" x="4403" y="-1"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1155">\begin{bmatrix}0.9 & 0 \\ 0 & 0.9 \\ \end{bmatrix}</script>。</p><p><img src='../images/ff87a8ea1377053128cdbf5129f0203f.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>在深度神经网络中，激活函数将以指数级递减，虽然我只是讨论了激活函数以与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-545-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.582ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 681 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E545-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-545">L</script>相关的指数级数增长或下降，它也适用于与层数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-545-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.582ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 681 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E545-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-545">L</script>相关的导数或梯度函数，也是呈指数级增长或呈指数递减。</p><p>对于当前的神经网络，假设<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1156-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.163ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 3514.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1156-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1156-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1156-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1156-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path stroke-width="0" id="E1156-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1156-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1156-MJMAIN-3D" x="958" y="0"></use><g transform="translate(2014,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1156-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1156-MJMAIN-35" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1156-MJMAIN-30" x="1000" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1156">L=150</script>，最近<strong>Microsoft</strong>对152层神经网络的研究取得了很大进展，在这样一个深度神经网络中，如果激活函数或梯度函数以与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-545-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.582ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 681 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E545-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-545">L</script>相关的指数增长或递减，它们的值将会变得极大或极小，从而导致训练难度上升，尤其是梯度指数小于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-545-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.582ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 681 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E545-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-545">L</script>时，梯度下降算法的步长会非常非常小，梯度下降算法将花费很长时间来学习。</p><p>总结一下，我们讲了深度神经网络是如何产生梯度消失或爆炸问题的，实际上，在很长一段时间内，它曾是训练深度神经网络的阻力，虽然有一个不能彻底解决此问题的解决方案，但是已在如何选择初始化权重问题上提供了很多帮助。</p><h3><a name='header-n266' class='md-header-anchor '></a>1.11 神经网络的权重初始化（Weight Initialization for Deep NetworksVanishing / Exploding gradients）</h3><p>上节课，我们学习了深度神经网络如何产生梯度消失和梯度爆炸问题，最终针对该问题，我们想出了一个不完整的解决方案，虽然不能彻底解决问题，却很有用，有助于我们为神经网络更谨慎地选择随机初始化参数，为了更好地理解它，我们先举一个神经单元初始化地例子，然后再演变到整个深度网络。</p><p><img src='../images/db9472c81a2cf6bb704dc398ea1cf017.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我们来看看只有一个神经元的情况，然后才是深度网络。</p><p>单个神经元可能有4个输入特征，从<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1157-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.382ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1025.6 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1157-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1157-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1157-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.462ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1060 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1163-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 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id="MathJax-Element-1166">w^{[l]} = np.random.randn( \text{shape})*\text{np.}\text{sqrt}(\frac{1}{n^{[l-1]}})</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1176-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.127ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2207.6 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1176-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1170">\frac{1}{n}</script>，方差设置为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1173-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.822ex" height="3.278ex" viewBox="0 -956.9 784.3 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1173-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1173-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 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xlink:href="#E1172-MJMAIN-29" x="6716" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1172">g^{[l]}(z) =Relu(z)</script>,它取决于你对随机变量的熟悉程度，这是高斯随机变量，然后乘以它的平方根，也就是引用这个方差<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1173-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.822ex" height="3.278ex" viewBox="0 -956.9 784.3 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1173-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1173-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="544" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1173-MJMAIN-32" x="134" y="571"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1173-MJMATHI-6E" x="84" y="-488"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1173">\frac{2}{n}</script>。这里，我用的是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1176-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.127ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2207.6 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1176-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-5D" x="1853" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1176">n^{[l - 1]}</script>，因为本例中，逻辑回归的特征是不变的。但一般情况下<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1175-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.692ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 298 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1175-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1175-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1175">l</script>层上的每个神经元都有<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1176-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.127ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2207.6 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1176-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1176-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1176-MJMAIN-5D" x="1853" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1176">n^{[l - 1]}</script>个输入。如果激活函数的输入特征被零均值和标准方差化，方差是1，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-726-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E726-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E726-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-726">z</script>也会调整到相似范围，这就没解决问题（梯度消失和爆炸问题）。但它确实降低了梯度消失和爆炸问题，因为它给权重矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>设置了合理值，你也知道，它不能比1大很多，也不能比1小很多，所以梯度没有爆炸或消失过快。</p><p><img src='../images/3decc82bf6f48903ee1fedbdb7e2c0f6.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我提到了其它变体函数，刚刚提到的函数是<strong>Relu</strong>激活函数，一篇由<strong>Herd</strong>等人撰写的论文曾介绍过。对于几个其它变体函数，如<strong>tanh</strong>激活函数，有篇论文提到，常量1比常量2的效率更高，对于<strong>tanh</strong>函数来说，它是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1181-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.784ex" height="4.679ex" viewBox="0 -1258.5 2921 2014.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.756ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJSZ2-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJSZ2-221A" x="0" y="-36"></use><rect stroke="none" width="1920" height="60" x="1000" y="1054"></rect><g transform="translate(1000,0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="1680" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-31" x="938" y="571"></use><g transform="translate(60,-484)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(424,204)"><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-5D" x="1854" y="0"></use></g></g></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1181">\sqrt{\frac{1}{n^{[l-1]}}}</script>，这里平方根的作用与这个公式作用相同(<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1178-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.452ex" height="3.511ex" viewBox="0 -956.9 5792 1511.8" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.289ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1178-MJMAIN-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-6E"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-70" x="556" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-2E" x="1112" y="0"></use><g transform="translate(1390,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-73"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-71" x="394" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-72" x="922" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-74" x="1314" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-28" x="3093" y="0"></use><g transform="translate(3482,0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="1680" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1182">\text{np.}\text{sqrt}(\frac{2}{n^{[l-1]}})</script>，如果使用<strong>tanh</strong>函数，可以用公式<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1181-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.784ex" height="4.679ex" viewBox="0 -1258.5 2921 2014.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.756ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 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stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1181-MJSZ2-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJSZ2-221A" x="0" y="-36"></use><rect stroke="none" width="1920" height="60" x="1000" y="1054"></rect><g transform="translate(1000,0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="1680" height="60" x="0" y="220"></rect><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-31" x="938" y="571"></use><g transform="translate(60,-484)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(424,204)"><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1181-MJMAIN-5D" x="1854" y="0"></use></g></g></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1181">\sqrt{\frac{1}{n^{[l-1]}}}</script>，有些作者也会使用这个函数。</p><p>实际上，我认为所有这些公式只是给你一个起点，它们给出初始化权重矩阵的方差的默认值，如果你想添加方差，方差参数则是另一个你需要调整的超级参数，可以给公式<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1182-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.452ex" height="3.511ex" viewBox="0 -956.9 5792 1511.8" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.289ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 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414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-71" d="M33 218Q33 308 95 374T236 441H246Q330 441 381 372L387 364Q388 364 404 403L420 442H457V156Q457 -132 458 -134Q462 -142 470 -145Q491 -148 519 -148H535V-194H527L504 -193Q480 -192 453 -192T415 -191Q312 -191 303 -194H295V-148H311Q339 -148 360 -145Q369 -141 371 -135T373 -106V-41V49Q313 -11 236 -11Q154 -11 94 53T33 218ZM376 300Q346 389 278 401Q275 401 269 401T261 402Q211 400 171 350T131 214Q131 137 165 82T253 27Q296 27 328 54T376 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729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1182-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-6E"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(424,204)"><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-5D" x="1854" y="0"></use></g></g></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1182-MJMAIN-29" x="5402" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1182">\text{np.}\text{sqrt}(\frac{2}{n^{[l-1]}})</script>添加一个乘数参数，调优作为超级参数激增一份子的乘子参数。有时调优该超级参数效果一般，这并不是我想调优的首要超级参数，但我发现调优过程中产生的问题，虽然调优该参数能起到一定作用，但考虑到相比调优，其它超级参数的重要性，我通常把它的优先级放得比较低。</p><p>希望你现在对梯度消失或爆炸问题以及如何为权重初始化合理值已经有了一个直观认识，希望你设置的权重矩阵既不会增长过快，也不会太快下降到0，从而训练出一个权重或梯度不会增长或消失过快的深度网络。我们在训练深度网络时，这也是一个加快训练速度的技巧。</p><h3><a name='header-n279' class='md-header-anchor '></a>1.12 梯度的数值逼近（Numerical approximation of gradients）</h3><p>在实施<strong>backprop</strong>时，有一个测试叫做梯度检验，它的作用是确保<strong>backprop</strong>正确实施。因为有时候，你虽然写下了这些方程式，却不能100%确定，执行<strong>backprop</strong>的所有细节都是正确的。为了逐渐实现梯度检验，我们首先说说如何计算梯度的数值逼近，下节课，我们将讨论如何在<strong>backprop</strong>中执行梯度检验，以确保<strong>backprop</strong>正确实施。</p><p><img src='../images/91cde35a0fc9c11a98f16ad2797f20a7.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我们先画出函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-370-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E370-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E370-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-370">f</script>，标记为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1183-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.561ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 1963.7 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1183-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1183-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1183-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1183-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1183-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(716,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1183-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1183-MJMATHI-3B8" x="389" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1183-MJMAIN-29" x="858" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1183">f\left( \theta \right)</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1184-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.801ex" height="2.811ex" viewBox="0 -906.7 4219.8 1210.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1184-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1184-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1184-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1184-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path stroke-width="0" id="E1184-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1184-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" 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class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script 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inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>的值，而是在<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" 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右侧，设置一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1209-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.011ex" height="2.227ex" viewBox="0 -806.1 2157.4 958.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.355ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1209-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1209-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 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+\varepsilon</script>，在<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" 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-\varepsilon</script>。因此<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1192-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 2302.6 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1192-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1192-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="25.508ex" height="2.461ex" viewBox="0 -806.1 10982.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1193-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1193-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1193-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 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0T96 17T78 60Z"></path><path stroke-width="0" id="E1193-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1193-MJMAIN-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path stroke-width="0" id="E1193-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1193-MJMAIN-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 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xlink:href="#E1193-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-2E" x="500" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-30" x="778" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-31" x="1278" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-2C" x="5269" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMATHI-3B8" x="5713" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-2212" x="6404" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMATHI-3B5" x="7405" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-3D" x="8148" y="0"></use><g transform="translate(9204,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1193-MJMAIN-30"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>的值为0.01，看下这个小三角形，计算高和宽的比值，就是更准确的梯度预估，选择<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-370-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E370-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E370-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-370">f</script>函数在<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1195-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.011ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 2157.4 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1195-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1195-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1195-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1195-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1195-MJMAIN-2212" x="691" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1195-MJMATHI-3B5" x="1691" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1195">\theta -\varepsilon</script>上的这个点，用这个较大三角形的高比上宽，技术上的原因我就不详细解释了，较大三角形的高宽比值更接近于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>的导数，把右上角的三角形下移，好像有了两个三角形，右上角有一个，左下角有一个，我们通过这个绿色大三角形同时考虑了这两个小三角形。所以我们得到的不是一个单边公差而是一个双边公差。</p><p><img src='../images/b24ad9ce9fdc4a32be4d98915d8f6ffb.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>我们写一下数据算式，图中绿色三角形上边的点的值是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1197-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.095ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 3485.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1197-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1197-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1197-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1197-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1197-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1197-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1197-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1197-MJMAIN-28" x="550" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1197-MJMATHI-3B8" x="939" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1197-MJMAIN-2B" x="1630" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1197-MJMATHI-3B5" x="2630" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1197-MJMAIN-29" x="3096" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1197">f( \theta +\varepsilon )</script>，下边的点是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1198-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="8.095ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 3485.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1198-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1198-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 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stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMATHI-67" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMAIN-28" x="480" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMATHI-3B8" x="869" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMAIN-29" x="1338" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMAIN-3D" x="2004" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMAIN-33" x="3060" y="0"></use><g transform="translate(3560,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMAIN-32" x="663" y="513"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1206-MJMAIN-3D" x="4760" 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inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1208-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1208-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1208">\theta </script>到<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1209-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.011ex" height="2.227ex" viewBox="0 -806.1 2157.4 958.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.355ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1209-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1209-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1209-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1209-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1209-MJMAIN-2B" x="691" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1209-MJMATHI-3B5" x="1691" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1209">\theta +\varepsilon</script>之间的误差，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1226-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.011ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 1727 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1226-MJMATHI-67" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMATHI-67" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMAIN-28" x="480" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMATHI-3B8" x="869" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMAIN-29" x="1338" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1226">g( \theta)</script>的值为3.0301，逼近误差是0.03，不是0.0001，所以使用双边误差的方法更逼近导数，其结果接近于3，现在我们更加确信，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1226-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.011ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 1727 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1226-MJMATHI-67" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMATHI-67" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMAIN-28" x="480" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMATHI-3B8" x="869" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMAIN-29" x="1338" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1226">g( \theta)</script>可能是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-370-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E370-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E370-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-370">f</script>导数的正确实现，在梯度检验和反向传播中使用该方法时，最终，它与运行两次单边公差的速度一样，实际上，我认为这种方法还是非常值得使用的，因为它的结果更准确。</p><p><img src='../images/35a2e86581eab4665634593870fe5180.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这是一些你可能比较熟悉的微积分的理论，如果你不太明白我讲的这些理论也没关系，导数的官方定义是针对值很小的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>，导数的官方定义是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1213-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="19.615ex" height="3.861ex" viewBox="0 -1208.2 8445.2 1662.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1213-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-2032" x="0" y="513"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-3B8" x="876" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-29" x="1345" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-3D" x="2012" y="0"></use><g transform="translate(3067,0)"><g transform="translate(286,0)"><rect stroke="none" width="4970" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,581)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-28" x="550" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-3B8" x="939" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-2B" x="1408" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-3B5" x="2186" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-29" x="2652" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-2212" x="3041" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-66" x="3819" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-28" x="4369" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-3B8" x="4758" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-2212" x="5227" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-3B5" x="6005" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-29" x="6471" y="0"></use></g><g transform="translate(2143,-376)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMAIN-32" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1213-MJMATHI-3B5" x="500" y="0"></use></g></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1213">f^{'}\theta) = \operatorname{}\frac{f( \theta + \varepsilon) -f(\theta -\varepsilon)}{2\varepsilon}</script>，如果你上过微积分课，应该学过无穷尽的定义，我就不在这里讲了。</p><p>对于一个非零的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>，它的逼近误差可以写成<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1215-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.715ex" height="2.811ex" viewBox="0 -906.7 2460.6 1210.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1215-MJMATHI-4F" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path><path stroke-width="0" id="E1215-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1217-MJMAIN-30" x="1278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1217-MJMAIN-30" x="1778" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1217-MJMAIN-31" x="2278" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1217">\varepsilon^{2}=0.0001</script>，大写符号<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1220-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.772ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 763 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1220-MJMATHI-4F" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1220-MJMATHI-4F" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1220">O</script>的含义是指逼近误差其实是一些常量乘以<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1224-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.136ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 919.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1224-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1224-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1224-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1224-MJMAIN-32" x="659" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1224">\varepsilon^{2}</script>，但它的确是很准确的逼近误差，所以大写<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1220-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.772ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 763 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1220-MJMATHI-4F" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1220-MJMATHI-4F" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1220">O</script>的常量有时是1。然而，如果我们用另外一个公式逼近误差就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1221-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.661ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2007 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1221-MJMATHI-4F" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path><path stroke-width="0" id="E1221-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1221-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1221-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1221-MJMATHI-4F" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1221-MJMAIN-28" x="763" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1221-MJMATHI-3B5" x="1152" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1221-MJMAIN-29" x="1618" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1221">O(\varepsilon)</script>，当<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>小于1时，实际上<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>比<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1224-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.136ex" height="2.344ex" viewBox="0 -906.7 919.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1224-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1224-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1224-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1224-MJMAIN-32" x="659" y="513"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1224">\varepsilon^{2}</script>大很多，所以这个公式近似值远没有左边公式的准确，所以在执行梯度检验时，我们使用双边误差，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1225-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="12.102ex" height="3.861ex" viewBox="0 -1208.2 5210.8 1662.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1225-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1225-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="4970" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,581)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(388,0)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMATHI-3B8" x="389" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMAIN-2B" x="858" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMATHI-3B5" x="1636" 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x="6471" y="0"></use></g><g transform="translate(2143,-376)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMAIN-32" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1225-MJMATHI-3B5" x="500" y="0"></use></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1225">\frac{f\left(\theta + \varepsilon \right) - f(\theta -\varepsilon)}{2\varepsilon}</script>，而不使用单边公差，因为它不够准确。</p><p><img src='../images/1b2617461ed10089bc61ad273c84594f.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果你不理解上面两条结论，所有公式都在这儿，不用担心，如果你对微积分和数值逼近有所了解，这些信息已经足够多了，重点是要记住，双边误差公式的结果更准确，下节课我们做梯度检验时就会用到这个方法。</p><p>今天我们讲了如何使用双边误差来判断别人给你的函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1226-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.011ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 1727 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1226-MJMATHI-67" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1226-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMATHI-67" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMAIN-28" x="480" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMATHI-3B8" x="869" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1226-MJMAIN-29" x="1338" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1226">g( \theta)</script>，是否正确实现了函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-370-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E370-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E370-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-370">f</script>的偏导，现在我们可以使用这个方法来检验反向传播是否得以正确实施，如果不正确，它可能有bug需要你来解决。</p><h3><a name='header-n291' class='md-header-anchor '></a>1.13 梯度检验（Gradient checking）</h3><p>梯度检验帮我们节省了很多时间，也多次帮我发现<strong>backprop</strong>实施过程中的bug，接下来，我们看看如何利用它来调试或检验<strong>backprop</strong>的实施是否正确。</p><p>假设你的网络中含有下列参数，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1250-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1250-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1250-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1250-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1250">W^{[1]}</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1252-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.963ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1275.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1252-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path stroke-width="0" id="E1252-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1252-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1252-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1252-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use><g transform="translate(429,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1252-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1252-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1252-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1252">b^{[1]}</script>……<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1229-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.141ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1783.1 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1229-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1229-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1229-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1229-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1229-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1229-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1229-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1229-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1229">W^{[l]}</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1230-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.631ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1132.9 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1230-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path stroke-width="0" id="E1230-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1230-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1230-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1230-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use><g transform="translate(429,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1230-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1230-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1230-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1230">b^{[l]}</script>，为了执行梯度检验，首先要做的就是，把所有参数转换成一个巨大的向量数据，你要做的就是把矩阵<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>转换成一个向量，把所有<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>矩阵转换成向量之后，做连接运算，得到一个巨型向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>，该向量表示为参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>，代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>是所有<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>的函数，现在你得到了一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 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inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1242-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1242-MJMATHI-62" x="523" y="0"></use><g transform="translate(952,420)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1242-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1242-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1242-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1242">{db}^{[l]}</script>转换成一个新的向量，用它们来初始化大向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1302-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.304ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 992 908.7" role="img" focusable="false" 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1249">dW^{[1]}</script>转换成矩阵，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1251-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.178ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1798.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1251-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1248">dW</script>都已经是矩阵，注意<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1249-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.688ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2449 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1249-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 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y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1302">d\theta</script>，它与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>具有相同维度，现在的问题是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1302-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.304ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 992 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1302">d\theta</script>和代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>的梯度或坡度有什么关系？</p><p><img src='../images/94fb79f5694c802a5261298e54157e14.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>这就是实施梯度检验的过程，英语里通常简称为“<strong>grad check</strong>”，首先，我们要清楚<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>是超参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 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tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.888ex" height="2.461ex" viewBox="0 -806.1 813 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1262-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path><path stroke-width="0" id="E1262-MJMATHI-69" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 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-0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>，其它项保持不变，因为我们使用的是双边误差，对另一边做同样的操作，只不过是减去<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>其它项全都保持不变。</p><p><img src='../images/f56f0cdc90730068109a6e20fcd41724.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>从上节课中我们了解到这个值（<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1285-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.996ex" height="2.694ex" viewBox="0 -806.1 4303.6 1160" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.822ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1285-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 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id="MathJax-Element-1269-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.784ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2059.7 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1269-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" 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class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1302-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.304ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 992 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1302-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1302-MJMATHI-3B8" x="523" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1302">d\theta</script>具有相同维度，它们两个与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>具有相同维度，你要做的就是验证这些向量是否彼此接近。</p><p><img src='../images/bed27b1d469acaf24dc1a7c1a7cdc086.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>具体来说，如何定义两个向量是否真的接近彼此？我一般做下列运算，计算这两个向量的距离，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1274-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="17.231ex" height="2.694ex" viewBox="0 -806.1 7419.1 1160" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.822ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1274-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 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style="vertical-align: -0.938ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1275-MJMAIN-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path stroke-width="0" id="E1275-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1275-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 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stroke-width="0" id="E1275-MJMAIN-70" d="M36 -148H50Q89 -148 97 -134V-126Q97 -119 97 -107T97 -77T98 -38T98 6T98 55T98 106Q98 140 98 177T98 243T98 296T97 335T97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 61 434T98 436Q115 437 135 438T165 441T176 442H179V416L180 390L188 397Q247 441 326 441Q407 441 464 377T522 216Q522 115 457 52T310 -11Q242 -11 190 33L182 40V-45V-101Q182 -128 184 -134T195 -145Q216 -148 244 -148H260V-194H252L228 -193Q205 -192 178 -192T140 -191Q37 -191 28 -194H20V-148H36ZM424 218Q424 292 390 347T305 402Q234 402 182 337V98Q222 26 294 26Q345 26 384 80T424 218Z"></path><path stroke-width="0" id="E1275-MJMAIN-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 60 434T96 436Q112 437 131 438T160 441T171 442H174V373Q213 441 271 441H277Q322 441 343 419T364 373Q364 352 351 337T313 322Q288 322 276 338T263 372Q263 381 265 388T270 400T273 405Q271 407 250 401Q234 393 226 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transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-7C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-7C" x="278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMATHI-64" x="556" y="0"></use><g transform="translate(1079,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use><g transform="translate(469,-150)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-61"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-70" x="500" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-70" x="1056" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-72" x="1612" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-6F" x="2004" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-78" x="2504" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-2212" x="4014" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMATHI-64" x="5014" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMATHI-3B8" x="5537" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-7C" x="6006" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-7C" x="6284" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1275-MJMAIN-32" x="9280" y="-457"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1275">{||d\theta_{\text{approx}} -d\theta||}_{2}</script>）没有平方，它是误差平方之和，然后求平方根，得到欧式距离，然后用向量长度归一化，使用向量长度的欧几里得范数。分母只是用于预防这些向量太小或太大，分母使得这个方程式变成比率，我们实际执行这个方程式，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>可能为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1287-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use><g transform="translate(1000,392)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-37" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1287">10^{-7}</script>，使用这个取值范围内的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1278-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.082ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 466 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1278-MJMATHI-3B5" d="M190 -22Q124 -22 76 11T27 107Q27 174 97 232L107 239L99 248Q76 273 76 304Q76 364 144 408T290 452H302Q360 452 405 421Q428 405 428 392Q428 381 417 369T391 356Q382 356 371 365T338 383T283 392Q217 392 167 368T116 308Q116 289 133 272Q142 263 145 262T157 264Q188 278 238 278H243Q308 278 308 247Q308 206 223 206Q177 206 142 219L132 212Q68 169 68 112Q68 39 201 39Q253 39 286 49T328 72T345 94T362 105Q376 103 376 88Q376 79 365 62T334 26T275 -8T190 -22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1278-MJMATHI-3B5" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1278">\varepsilon</script>，如果你发现计算方程式得到的值为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1287-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use><g transform="translate(1000,392)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-37" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1287">10^{-7}</script>或更小，这就很好，这就意味着导数逼近很有可能是正确的，它的值非常小。</p><p><img src='../images/f223102bc7d144b66ad9b2ffa4a85f00.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>如果它的值在<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1280-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1280-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1280-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1280-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1280-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1280-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1280-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use><g transform="translate(1000,392)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1280-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1280-MJMAIN-35" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1280">10^{-5}</script>范围内，我就要小心了，也许这个值没问题，但我会再次检查这个向量的所有项，确保没有一项误差过大，可能这里有<strong>bug</strong>。</p><p>如果左边这个方程式结果是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1283-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1283-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1283-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1283-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1283-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 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id="MathJax-Element-1283">10^{-3}</script>，我就会担心是否存在<strong>bug</strong>，计算结果应该比<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1282-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1282-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1282-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 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stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1282-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1282-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use><g transform="translate(1000,392)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1282-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1282-MJMAIN-33" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1282">10^{- 3}</script>小很多，如果比<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1283-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1283-MJMAIN-31" d="M213 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223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1286-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1286-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1286-MJMATHI-3B8" x="523" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1286-MJMAIN-5B" x="992" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1286-MJMATHI-69" x="1270" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1286-MJMAIN-5D" x="1615" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1286"> d\theta[i]</script>大不相同，并用它来追踪一些求导计算是否正确，经过一些调试，最终结果会是这种非常小的值（<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1287-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.654ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 2003.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1287-MJMAIN-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use><g transform="translate(1000,392)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1287-MJMAIN-37" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1287">10^{-7}</script>），那么，你的实施可能是正确的。</p><p><img src='../images/07fd11e7b28ef0ab7d3b6d23b19a8fdc.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>在实施神经网络时，我经常需要执行<strong>foreprop</strong>和<strong>backprop</strong>，然后我可能发现这个梯度检验有一个相对较大的值，我会怀疑存在<strong>bug</strong>，然后开始调试，调试，调试，调试一段时间后，我得到一个很小的梯度检验值，现在我可以很自信的说，神经网络实施是正确的。</p><p>现在你已经了解了梯度检验的工作原理，它帮助我在神经网络实施中发现了很多<strong>bug</strong>，希望它对你也有所帮助。</p><h3><a name='header-n309' class='md-header-anchor '></a>1.14 梯度检验应用的注意事项（Gradient Checking Implementation Notes）</h3><p>这节课，分享一些关于如何在神经网络实施梯度检验的实用技巧和注意事项。</p><p><img src='../images/L2_week1_24.png' alt='' referrerPolicy='no-referrer' /></p><p>首先，不要在训练中使用梯度检验，它只用于调试。我的意思是，计算所有<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-605-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.801ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 345 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E605-MJMATHI-69" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E605-MJMATHI-69" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-605">i</script>值的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1299-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.996ex" height="2.694ex" viewBox="0 -806.1 4303.6 1160" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.822ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1299-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 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<strong>backprop</strong>来计算<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1302-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.304ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 992 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 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class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1302-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.304ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 992 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1302-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1302-MJMATHI-3B8" x="523" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1302">d\theta</script>。完成后，你会关闭梯度检验，梯度检验的每一个迭代过程都不执行它，因为它太慢了。</p><p>第二点，如果算法的梯度检验失败，要检查所有项，检查每一项，并试着找出<strong>bug</strong>，也就是说，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1299-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.996ex" height="2.694ex" viewBox="0 -806.1 4303.6 1160" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.822ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1299-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1297-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1297-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1297-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1297">\text{dw}^{[l]}</script>的各项非常接近，注意<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 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-0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>的各项都是一一对应的，这时，你可能会发现，在计算参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>的导数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-761-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.211ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 952 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E761-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E761-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use 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x="623" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1300">d\theta\left[i\right]</script>的值相差很大，你会发现所有这些项目都来自于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-766-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.878ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1239 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E766-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E766-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E766-MJMATHI-77" x="523" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-766">dw</script>或某层的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-766-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.878ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1239 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E766-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E766-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 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style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1301-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path><path stroke-width="0" id="E1301-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1301-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 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x="482" y="583"></use><g transform="translate(59,-376)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-32" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMATHI-6D" x="500" y="0"></use></g></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJSZ1-2211" x="13058" y="0"></use><g transform="translate(14281,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-7C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-7C" x="278" y="0"></use><g transform="translate(556,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-7C" x="2339" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-7C" x="2617" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1301-MJMAIN-32" x="4094" y="877"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1301">J(\theta) = \frac{1}{m}\sum_{}^{}{L(\hat y^{(i)},y^{(i)})} + \frac{\lambda}{2m}\sum_{}^{}{||W^{[l]}||}^{2}</script>，这就是代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>的定义，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1302-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.304ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 992 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-64" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path stroke-width="0" id="E1302-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1302-MJMATHI-64" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1302-MJMATHI-3B8" x="523" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1302">d\theta</script>等于与<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="2.11ex" viewBox="0 -806.1 469 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1303-MJMATHI-3B8" d="M35 200Q35 302 74 415T180 610T319 704Q320 704 327 704T339 705Q393 701 423 656Q462 596 462 495Q462 380 417 261T302 66T168 -10H161Q125 -10 99 10T60 63T41 130T35 200ZM383 566Q383 668 330 668Q294 668 260 623T204 521T170 421T157 371Q206 370 254 370L351 371Q352 372 359 404T375 484T383 566ZM113 132Q113 26 166 26Q181 26 198 36T239 74T287 161T335 307L340 324H145Q145 321 136 286T120 208T113 132Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1303-MJMATHI-3B8" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1303">\theta</script>相关的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>函数的梯度，包括这个正则项，记住一定要包括这个正则项。</p><p>第四点，梯度检验不能与<strong>dropout</strong>同时使用，因为每次迭代过程中，<strong>dropout</strong>会随机消除隐藏层单元的不同子集，难以计算<strong>dropout</strong>在梯度下降上的代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>。因此<strong>dropout</strong>可作为优化代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>的一种方法，但是代价函数J被定义为对所有指数极大的节点子集求和。而在任何迭代过程中，这些节点都有可能被消除，所以很难计算代价函数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-478-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.47ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 633 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E478-MJMATHI-4A" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E478-MJMATHI-4A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-478">J</script>。你只是对成本函数做抽样，用<strong>dropout</strong>，每次随机消除不同的子集，所以很难用梯度检验来双重检验<strong>dropout</strong>的计算，所以我一般不同时使用梯度检验和<strong>dropout</strong>。如果你想这样做，可以把<strong>dropout</strong>中的<strong>keepprob</strong>设置为1.0，然后打开<strong>dropout</strong>，并寄希望于<strong>dropout</strong>的实施是正确的，你还可以做点别的，比如修改节点丢失模式确定梯度检验是正确的。实际上，我一般不这么做，我建议关闭<strong>dropout</strong>，用梯度检验进行双重检查，在没有<strong>dropout</strong>的情况下，你的算法至少是正确的，然后打开<strong>dropout</strong>。</p><p>最后一点，也是比较微妙的一点，现实中几乎不会出现这种情况。当<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>接近0时，梯度下降的实施是正确的，在随机初始化过程中……，但是在运行梯度下降时，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>变得更大。可能只有在<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>接近0时，<strong>backprop</strong>的实施才是正确的。但是当<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1304-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.434ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1048 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1304-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1304-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1304">W</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>变大时，它会变得越来越不准确。你需要做一件事，我不经常这么做，就是在随机初始化过程中，运行梯度检验，然后再训练网络，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-684-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E684-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E684-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-684">w</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-707-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E707-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E707-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-707">b</script>会有一段时间远离0，如果随机初始化值比较小，反复训练网络之后，再重新运行梯度检验。</p><p>这就是梯度检验，恭喜大家，这是本周最后一课了。回顾这一周，我们讲了如何配置训练集，验证集和测试集，如何分析偏差和方差，如何处理高偏差或高方差以及高偏差和高方差并存的问题，如何在神经网络中应用不同形式的正则化，如<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1305-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.743ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1181 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1305-MJMATHI-4C" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1305-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1305-MJMAIN-32" x="681" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1305">L2</script>正则化和<strong>dropout</strong>，还有加快神经网络训练速度的技巧，最后是梯度检验。这一周我们学习了很多内容，你可以在本周编程作业中多多练习这些概念。祝你好运，期待下周再见。</p><p>&nbsp;</p></div>
</body>
</html>