# Nombre complexe _Read this in other languages:_ [english](README.md). Un **nombre complexe** est un nombre qui peut s'écrire sous la forme `a + b * i`, tels que `a` et `b` sont des nombres réels, et `i` est la solution de l'équation `x^2 = −1`. Du fait qu'aucun _nombre réel_ ne statisfait l'équation, `i` est appellé _nombre imaginaire_. Étant donné le nombre complexe `a + b * i`, `a` est appellé _partie réelle_, et `b`, _partie imaginaire_.  Un nombre complexe est donc la combinaison d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire :  En géométrie, les nombres complexes étendent le concept de ligne de nombres sur une dimension à un _plan complexe à deux dimensions_ en utilisant l'axe horizontal pour lepartie réelle et l'axe vertical pour la partie imaginaire. Le nombre complexe `a + b * i` peut être identifié avec le point `(a, b)` dans le plan complexe. Un nombre complexe dont la partie réelle est zéro est dit _imaginaire pur_; les points pour ces nombres se trouvent sur l'axe vertical du plan complexe. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est zéro peut être considéré comme un _nombre réel_; son point se trouve sur l'axe horizontal du plan complexe. | Nombre complexe | Partie réelle | partie imaginaire | | | :-------------- | :-----------: | :---------------: | ---------------- | | 3 + 2i | 3 | 2 | | | 5 | 5 | **0** | Purely Real | | −6i | **0** | -6 | Purely Imaginary | A complex number can be visually represented as a pair of numbers `(a, b)` forming a vector on a diagram called an _Argand diagram_, representing the _complex plane_. `Re` is the real axis, `Im` is the imaginary axis, and `i` satisfies `i^2 = −1`. Un nombre complexe peut être représenté visuellement comme une paire de nombres `(a, b)` formant un vecteur sur un diagramme appelé _diagramme d'Argand_, représentant le _plan complexe_. _Re_ est l'axe réel, _Im_ est l'axe imaginaire et `i` satisfait `i^2 = −1`.  > Complexe ne veut pas dire compliqué. Cela signifie simplement que > les deux types de nombres, réels et imaginaires, forment ensemble un complexe > comme on le dirait d'un complexe de bâtiments (bâtiments réunis). ## Forme polaire Une manière de définir un point `P` dans le plan complexe, autre que d'utiliser les coordonnées x et y, consiste à utiliser la distance entre le point `O`, le point dont les coordonnées sont `(0, 0)` (l'origine), et l'angle sous-tendu entre l'axe réel positif et le segment de droite `OP` dans le sens antihoraire. Cette idée conduit à la forme polaire des nombres complexes.  The _valeur absolue_ (ou module) d'un nombre complexe `z = x + yi` est:  L'argument de `z` (parfois appelé « phase » ou « amplitude ») est l'angle du rayon `OP` avec l'axe des réels positifs, et s'écrit `arg(z)`. Comme avec le module, l'argument peut être trouvé à partir de la forme rectangulaire `x + yi`:  Ensemble, `r` et`φ` donnent une autre façon de représenter les nombres complexes, la forme polaire, car la combinaison du module et de l'argument suffit à indiquer la position d'un point sur le plan. Obtenir les coordonnées du rectangle d'origine à partir de la forme polaire se fait par la formule appelée forme trigonométrique :  En utilisant la formule d'Euler, cela peut être écrit comme suit:  ## Opérations de base ### Addition Pour ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons chaque partie séparément : ```text (a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i ``` **Exemple** ```text (3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i ``` Dans un plan complexe, l'addition ressemblera à ceci:  ### Soustraction Pour soustraire deux nombres complexes, on soustrait chaque partie séparément : ```text (a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i ``` **Exemple** ```text (3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i ``` ### Multiplication Pour multiplier les nombres complexes, chaque partie du premier nombre complexe est multipliée par chaque partie du deuxième nombre complexe: On peut utiliser le "FOIL" (parfois traduit PEID en français), acronyme de **F**irsts (Premiers), **O**uters (Extérieurs), **I**nners (Intérieurs), **L**asts (Derniers)" ( voir [Binomial Multiplication](ttps://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-multiplying.html) pour plus de détails):  - Firsts: `a × c` - Outers: `a × di` - Inners: `bi × c` - Lasts: `bi × di` En général, cela ressemble à: ```text (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 ``` Mais il existe aussi un moyen plus rapide ! Utiliser cette loi: ```text (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ``` **Exemple** ```text (3 + 2i)(1 + 7i) = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i = 3 + 21i + 2i + 14i^2 = 3 + 21i + 2i − 14 (because i^2 = −1) = −11 + 23i ``` ```text (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i ``` ### Conjugués En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée. Un conjugué vois son signe changer au milieu comme suit:  Un conjugué est souvent écrit avec un trait suscrit (barre au-dessus): ```text ______ 5 − 3i = 5 + 3i ``` Dans un plan complexe, le nombre conjugué sera mirroir par rapport aux axes réels.  ### Division Le conjugué est utiliser pour aider à la division de nombres complexes L'astuce est de _multiplier le haut et le bas par le conjugué du bas_. **Exemple** ```text 2 + 3i ------ 4 − 5i ``` Multiplier le haut et le bas par le conjugué de `4 − 5i`: ```text (2 + 3i) * (4 + 5i) 8 + 10i + 12i + 15i^2 = ------------------- = ---------------------- (4 − 5i) * (4 + 5i) 16 + 20i − 20i − 25i^2 ``` Et puisque `i^2 = −1`, il s'ensuit que: ```text 8 + 10i + 12i − 15 −7 + 22i −7 22 = ------------------- = -------- = -- + -- * i 16 + 20i − 20i + 25 41 41 41 ``` Il existe cependant un moyen plus direct. Dans l'exemple précédent, ce qui s'est passé en bas était intéressant: ```text (4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i ``` Les termes du milieu `(20i − 20i)` s'annule! Et pusique `i^2 = −1` on retrouve: ```text (4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2 ``` Ce qui est vraiment un résultat assez simple. La règle générale est: ```text (a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2 ``` ## Références - [Wikipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe) - [Math is Fun](https://www.mathsisfun.com/numbers/complex-numbers.html)